Цели первого семестра:

1. Знакомство с алгебраическими структурами (группы, кольца, поля, алгебры).
2. Линейная алгебра: векторные пространства, системы линейных уравнений, линейные операторы.

Приблизительная программа курса

1. Абелевы группы, кольца, поля. Гомоморфизмы и изоморфизмы. Примеры: целые, рациональные, действительные и комплексные числа, многочлены, кольца и поля вычетов, конечные поля, кольца и поля формальных степенных рядов.
2. Евклидовы кольца, НОД, алгоритм Евклида. Простые и неприводимые элементы. Основная теорема арифметики. Идеалы: простые, максимальные, главные. Факториальные кольца, кольца главных идеалов. Китайская теорема об остатках.
3. Векторные пространства: базис, размерность, подпространства, двойственное пространство, линейные преобразования, матрицы, определители, алгебры. Системы линейных уравнений, метод Гаусса. Собственные вектора и собственные значения, характеристический и минимальный многочлены, критерий диагонализируемости оператора, теорема Гамильтона-Кэли.
4. Многочлены: корни, неприводимые многочлены над R и C (основная теорема алгебры), неприводимые многочлены над Q и Z, лемма Гаусса. Симметрические многочлены, основная теорема о симметрических многочленах. Результант, дискриминант, теорема Безу.
5. Начала теории групп: смежные классы, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, фактор-группы, теорема о гомоморфизмах. Задание групп образующими и соотношениями. Группы симметрий. Действия групп на множествах, орбиты и стабилизаторы. Прямые и полупрямые произведения. Теоремы Силова. Теорема Жордана-Гёльдера, простые группы, расширения групп. Разрешимые и нильпотентные группы.

Литература

1. [Ви] Винберг Э.Б. Курс алгебры. М., Из-во МЦНМО, 2019.
2. [Го1] Городенцев А.Л. Алгебра. Учебник для студентов-математиков. Часть 1. «МЦНМО», 2013. Ссылка
3. [Го2] Городенцев А.Л. Алгебра-1. Конспекты лекций. Доступны здесь.
4. [DF] D. Dummit, R. Foote Abstract algebra.