Алексей Викторович Пенской
Риманова геометрия
Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
Лекции читаются очно по четвергам на матфаке ВШЭ.
14:50-16:10 — Лекция — 110 аудитория
16:20-17:40 — Семинар — 209 аудитория
Если у Вас нет пропуска на матфак (Усачева, 6), то, пожалуйста, напишите письмо на почту vomedvedev@hse.ru с указанием своего ФИО и спецкурса, который Вы желали бы посещать.
Для прохода на матфак нужно иметь с собой паспорт.
Анонс курса – на YouTube и на RuTube
Плейлист курса – на YouTube и на RuTube
Риманова геометрия занимается изучением многообразий, снабжённых римановой метрикой. С одной стороны, это важнейший раздел дифференциальной геометрии, изучающий касательноерасслоение с евклидовой метрикой в нем, с другой стороны, это глубокое обобщение евклидовой геометрии аффинных пространств на случай многообразий, где появляется кривизна, и многие простыевещи становятся неочевидными.
Порядок оценивания
0,4 * оценка за контрольную + 0,1 * оценка за работу на семинарах + 0,5 * оценка за письменный экзамен
Листки
Программа курса
- Римановы многообразия, риманова метрика, связность Леви – Чивиты.
- Параллельный перенос. Геодезические, экспоненциальное отображение, геодезические координаты.
- Тензоры кручения и кривизны. Секционная кривизна, тензор Риччи, скалярная кривизна.
- Вариационный подход к геодезическим, функционалы длины и энергии, уравнения Якоби, якобиевы поля, сопряженные точки, минимальность геодезических, множества раздела.
- Римановы накрытия.
- Риманова геометрия поверхностей.
- Изопериметрические неравенства.
Предварительная подготовка
Анализ на многообразиях (совершенно необходим, мы начнемиспользовать многообразия с самого начала курса), дифференциальная геометрия (мы напомним необходимые определения, но без опыта решения задач на курсе дифференциальной геометрии будет тяжело), алгебраическая топология (желательно, так как в паре мест может понадобиться фундаментальнаягруппа, гомотопические группы, (ко)гомологии).
Литература
- I. Chavel, «Riemannian Geometry. A Modern Introduction.», 2nd Ed.
- Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер, «Введение в риманову геометрию».
- Дж. Милнор, «Теория Морса».