Алексей Викторович Пенской

Риманова геометрия

Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.

Лекции читаются очно по четвергам на матфаке ВШЭ.

14:50-16:10 — Лекция — 110 аудитория

16:20-17:40 — Семинар — 209 аудитория

Если у Вас нет пропуска на матфак (Усачева, 6), то, пожалуйста, напишите письмо на почту vomedvedev@hse.ru с указанием своего ФИО и спецкурса, который Вы желали бы посещать.
Для прохода на матфак нужно иметь с собой паспорт.

 

Анонс курса – на YouTube и на RuTube

Плейлист курса – на YouTube и на RuTube

Риманова геометрия занимается изучением многообразий, снабжённых римановой метрикой. С одной стороны, это важнейший раздел дифференциальной геометрии, изучающий касательноерасслоение с евклидовой метрикой в нем, с другой стороны, это глубокое обобщение евклидовой геометрии аффинных пространств на случай многообразий, где появляется кривизна, и многие простыевещи становятся неочевидными.

Порядок оценивания

0,4 * оценка за контрольную + 0,1 * оценка за работу на семинарах + 0,5 * оценка за письменный экзамен

Листки

Листок 1

Программа курса

  1. Римановы многообразия, риманова метрика, связность Леви – Чивиты.
  2. Параллельный перенос. Геодезические, экспоненциальное отображение, геодезические координаты.
  3. Тензоры кручения и кривизны. Секционная кривизна, тензор Риччи, скалярная кривизна.
  4. Вариационный подход к геодезическим, функционалы длины и энергии, уравнения Якоби, якобиевы поля, сопряженные точки, минимальность геодезических, множества раздела.
  5. Римановы накрытия.
  6. Риманова геометрия поверхностей.
  7. Изопериметрические неравенства.

Предварительная подготовка

Анализ на многообразиях (совершенно необходим, мы начнемиспользовать многообразия с самого начала курса), дифференциальная геометрия (мы напомним необходимые определения, но без опыта решения задач на курсе дифференциальной геометрии будет тяжело), алгебраическая топология (желательно, так как в паре мест может понадобиться фундаментальнаягруппа, гомотопические группы, (ко)гомологии).

Литература

  1. I. Chavel, «Riemannian Geometry. A Modern Introduction.», 2nd Ed.
  2. Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер, «Введение в риманову геометрию».
  3. Дж. Милнор, «Теория Морса».