Приблизительная программа курса

0. Обзор. Топологические группы. Группа характеров топологической группы. Первые примеры двойственных по Понтрягину пар групп: \( C_1 \leftrightarrow \mathbb{Z} \), \( \mathbb{R} \leftrightarrow \mathbb{R} \). Ряды Фурье и интегралы Фурье, их применения.

1. Категория LCAB локально-компактных абелевых групп. Преобразование Понтрягина \( A \mapsto \widehat{A} \) как инволютивный эндофунктор на этой категории. Компактные и дискретные группы. Канонический изоморфизм \( \widehat{\widehat{A}} \cong A \). Аналогия с эндофунктором \( V \mapsto V^* \) в категории конечномерных векторных пространств и с отрицанием в алгебре высказываний.

2. Группа \( \mathbb{R}_{>0}^\times \). Преобразование Меллина. Гамма-функция. Тета- и дзета-функции, связь между их функциональными уравнениями. Применение к решению полиномиальных уравнений высших степеней.

3. Интегрирование в топологических группах. Инвариантные меры, мера Хаара. Теорема Планшереля и её обобщения. Случай конечных групп.

4. Неархимедовы аспекты двойственности Понтрягина. Метризация поля \( \mathbb{Q} \), теорема Островского. Кольцо аделей и дискретная топология на \( \mathbb{Q} \), функциональные аналоги. Группа целых \( p \)-адических чисел \( \mathbb{Z}_p^+ \) и прюферова группа \( \mathbb{p}^\infty \sqrt{1} \). Изоморфизм компактных топологических групп

и применение к нему преобразования Понтрягина. Аналоги и обобщения.

5. Арифметические приложения. Абелевы расширения поля \( \mathbb{Q} \). Теория полей классов по А. Вейлю.

6. О \( p \)-адической и адельной физике. Начала \( p \)-адической теории струн. Амплитуды Венециано. Идеология адельной демократии Ю.И. Манина; его адельная интерпретация формулы \( \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} \).

Программа файлом