Тарас Евгеньевич Панов
Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий
Спецсеминар, совместно с Международной Лабораторией алгебраической топологии и её приложений ФКН НИУ ВШЭ.
Лекции читаются очно
Плейлист курса – на YouTube и на RuTube
Страница семинара в прошлые семестры
Осень 2026
Следующее заседание семинара - 30 ноября.
19 октября семинар не состоится.
Участники семинара приглашаются на конференцию"Алгебраическая топология и действия групп" в МИАН.
12 октября состоится доклад:
Никита Андреевич Андрусов
Смешанные структуры Ходжа в когомологиях момент—угол-комплексов
Аннотация:
В 1970-71 годах в работах [1, 2] Пьер Делинь представил и развил теорию смешанных структур Ходжа, которую он применил для доказательства последней из гипотез Вейля. В когомологиях некомпактного комплексного алгебраического многообразия возникает так называемая весовая фильтрация. Она же определена и на этальных когомологиях, что позволяет связывать аналитические свойства комплексного многообразия с арифметическими свойствами того же многообразия над конечными полями.
В 1999-2000 годах в работах [3, 4] Виктор Бухштабер и Тарас Панов вычислили когомологии момент—угол-комплексов и обнаружили, что естественным образом в этих когомологиях возникает биградуировка.
В 2016 году в работе [5] Юрий Элияшев доказал, что эта биградуировка связана с весовой фильтрацией на когомологиях гомотопически эквивалентного момент—угол-комплексу многообразия, возникающего в фактор-конструкции Батырева—Кокса. В торической топологии это многообразие обозначают U(K) или U_K.
Я планирую рассказать про свою бакалаврскую работу, в которой предложил альтернативное доказательство результата Элияшева и применил теорию смешанных структур Ходжа в когомологиях U_K к его арифметике над конечными полями. Эти результаты могут быть интересны скорее не сами по себе, а как нетривиальные иллюстрации явлений в торической геометрии и теории смешанных структур Ходжа.
Список литературы:
[1] P. Deligne. "Theorie de Hodge I". In: Actes, Congr´es intern. math. (1970), pp. 425–430. url: https://publications.ias.edu/sites/default/files/Theorie-de-Hodge-I.pdf.
[2] P. Deligne. "Theorie de Hodge II". In: Publications Math´ematiques de l'IHES´ 40 (1971), pp. 5–58. url: https://publications.ias.edu/book/export/html/361.
[3] V. Buchshtaber and T. Panov. "Moment-angle complexes and combinatorics of simplicial manifolds". In: Russ. Math. Surv. 55.3 (June 2000), pp. 567–569. url: http://mi.mathnet.ru/rm297.
[4] V. Buchstaber and T. Panov. "Torus actions and combinatorics of polytopes". In: (Oct. 1999). url: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=715&option_lang=eng
[5] Yu. Eliyashev. "Mixed Hodge structure on complements of complex coordinate subspace arrangements". In: Mosc. Math. J. 16.3 (2016), pp. 545–560. url: https://doi.org/10.17323/1609-4514-2016-16-3-545-560
5 октября состоится доклад:
Дмитрий Николаевич Бабкин
Иррациональная торическая геометрия
Аннотация:
Торическое многообразие — это алгебраическое многообразие, содержащее алгебраический тор в качестве открытого всюду плотного множества, действие которого на себе продолжается до действия на всём многообразии. Нормальное торическое многообразие X_{\Sigma} можно построить по вееру, образующие одномерных конусов которого должны лежать в целочисленной решётке.
Существует несколько способов обобщения многообразий X_{\Sigma} на случай иррациональных данных.
В докладе будет представлен подход через стеки. Последовательно будут построены аналоги всех стандартных конструкций торической геометрии: торы, аффинные многообразия, соответствующие конусам, и проективные многообразия. Затем будет обсуждаться связь с другими подходами через аналог фактор-конструкции Батырева-Кокса и GIT.
Если останется время, я расскажу, как можно описывать дивизоры на таких пространствах с помощью удобного комбинаторно-алгебраического формализма -- двойственности Гейла.
28 сентября состоится доклад:
Иван Владимирович Аржанцев
Автоморфизмы торических многообразий и двойственность Гейла
Аннотация:
Это совместная работа с Кириллом Шахматовым. Мы классифицируем полные трехмерные торические многообразия X, на которых группа автоморфизмов Aut(X) действует с открытой орбитой, дополнение к которой не содержит дивизоров. Последнее условие означает, что с каждым лучом веера многообразия X связан корень Демазюра. Также мы выделяем те полные трехмерные торические многообразия X, для которых группа Aut(X) транзитивно действует на множестве гладких точек. Классификации основаны на интерпретации свойств действия группы автоморфизмов в терминах двойственности Гейла.
21 сентября состоится доклад:
Георгий Сергеевич Черных
Симметрические степени поверхностей
n-ая симметрическая степень SP^n(X) пространства Х - это просто факторпространство декартовой степени X^n по действию группы перестановок. Оказывается, если X является двумерной поверхностью, то SP^n(X) является гладким многообразием, комплексным, если X ориентируемо. Причём эта гладкая структура канонична с точностью до изотопии. В ориентированном случае комплексная структура очень не канонична, но соответствующая стабильно комплексная структура единственна с точностью до гомотопии. Всё это позволяет корректно рассматривать соответствующие классы бордизмов симметрических степеней замкнутых поверхностей: в неориентированных бордизмах в неориентируемом случае, и в комплексных бордизмах в ориентированном случае.
Для поверхности X я расскажу, как, используя вычисления в когомологиях симметрических степеней, следуя Макдональду, описать значение любого рода Хирцебруха на SP^n(X) в терминах инвариантного дифференциала соответствующей формальной группы. В частности, это даёт явное описание классов бордизмов SP^n(X). Отсюда следует, например, что в комплексном случае, класс SP^n(X) является инвариантом бордизма самой поверхности Х (а в неориентируемом случае это неверно).
Если останется время, я также обсужу гипотезу Благоевича-Груича-Живалевича о том, что топологический тип поверхности определяется топологическим типом любой её симметрической степени.
14 сентября состоится доклад:
Фёдор Евгеньевич Вылегжанин
Почти свободные факторпространства момент-угол-комплексов
Симплициальному комплексу K на m вершинах соответствует момент-угол комплекс ZK -- конечный CW-комплекс с действием m-мерного тора T^m. Мы изучаем топологию пространств вида ZK/H, где H меньше T^m — подгруппа, действующая с конечными стабилизаторами. Известно, что любое торическое многообразие, заданное симплициальным веером, гомотопически эквивалентно такому фактору.
В гладком случае действие оказывается свободным, поэтому гомотопические группы торического многообразия выражаются через гомотопические группы момент-угол-комплекса. Я расскажу, что про них известно, и как обобщить эти результаты на негладкий случай