Георгий Игоревич Шарыгин, Александр Борисович Жеглов
Деформационное квантование и квантовые группы
Лекции читаются очно по вторникам, в 18:30 в аудитории 310.
Плейлист курса – на YouTube и на RuTube
Семинар посвящен различным вопросам, имеющим отношение к квантовой физике и близким разделам математики, в том числе теория деформационного квантования, квантовые и классические динамические интегрируемые системы, квантовая теория поля, теория квантовых групп и их представлений, и т.п., а также многочисленным вопросам, связанным с приложениями этих теорий в разных отраслях математики и физики, или наоборот, связанным с теориями, применяющимися в изучении этих разделов.
Цель семинара, с одной стороны, - дать студентам и начинающим исследователям, изучающим подобные задачи, возможность обсудить возникающие вопросы, изучить незнакомый материал, или выступить с изложением своих собственных результатов, а с другой - дать возможность профессиональным исследователям обсудить с коллегами новые вопросы на более-менее неформальном уровне и привлечь внимание молодых коллег.
Семинар проходит в смешанном формате, как в традиционной форме, так и онлайн.
Идентификатор конференции: 814 7842 6276
Код доступа: 913607
We continue our seminars in IUM! Our next meeting will take place OFFLINE at 18:30 Moscow time, on Tuesday, September 29, in room 310 of IUM (11, B.Vlassievski pereulok). Our speaker, will be Dmitriy Timashev (Lomonosov MSU). Here're the title and the abstract of his talk ======================================================= Title: Maximal commutative Poisson subalgebras, bi-Poisson structures, and 2-decompositions of Lie algebras.
OFFLINE at 18:30 Moscow time, on Tuesday, October 13, in room 310 of IUM (11, B.Vlassievski pereulok). Our speaker, will be Vladimir Stukopin (MIPT, Dolgoprudny). Here're the title and the abstract of his talk ======================================================= Title: Schubert varieties of the affine super-Grassmannian GL(m|n) and shifted super-Yangians13 октября 2026 (вторник) в 18:30 (по Москве) в ауд.310 НМУ и ОНЛАЙН в Zoom состоится доклад:
Докладчик: Vladimir Stukopin (MIPT, Dolgoprudny)
Schubert varieties of the affine super-Grassmannian GL(m|n) and shifted super-Yangians
Многообразия Шуберта аффинного суперграссманиана GL(m|n) и сдвинутые суперянианы
Abstract:
Shifted Yangians, introduced by Brundan and Kleshchev, are closely related to affine symmetric pairs; both serve as quantizations of symmetric spaces associated with current algebras and loop algebras, respectively. In the classical limit, shifted Yangians correspond to Schubert varieties of the affine Grassmannian which are objects related to significant and intriguing mathematical constructions. Generalizing these constructions to the super-case is a hard and non-trivial problem. I plan to present an explicit coordinate description of Schubert varieties of the affine Grassmannian for the general linear supergroup GL(m|n) in low dimensions. In the super-case, a Gavarini–Drinfeld duality exists, allowing shifted super-Yangians to be viewed as quantizations of Schubert varieties. If time permits, I will also discuss attempts to relate the representation theory of shifted super-Yangians to Schubert varieties and Schubert cells.
Аннотация:
Сдвинутые янгианы, введенные Брэндоном и Клещёвым, тесно связаны с аффинными симметричными парами, те и другие являются квантованиями симметрических пространств, связанных с токовыми и петлевыми алгебрами, соответственно. В классическом пределе сдвинутые янгианы переходят в многообразия Шуберта аффинного грассманиана, с которыми в свою очередь связаны важные и интересные математические конструкции. Обобщение этих конструкций на суперслучай является сложной и нетривиальной задачей. Я собираюсь рассказать о явном описании многообразий Шуберта аффинного грассманиана общей линейной супергруппы GL(m|n) в малых размерностях. В суперслучае имеет место двойственность Гаварини-Дринфельда, на основе которой сдвинутые суперянгианы можно рассматривать в качестве квантований многообразий Шуберта. Я также, если останется время, расскажу о попытках связать теорию представлений сдвинутых суперянгианов с многообразиями и клетками Шуберта.
6-го октября семинара не будет!
29 сентября 2026 (вторник) в 18:30 (по Москве) в ауд.310 НМУ и ОНЛАЙН в Zoom состоится доклад:
Докладчик: Dmitriy Timashev (Lomonosov MSU)
Maximal commutative Poisson subalgebras, bi-Poisson structures, and 2-decompositions of Lie algebras
Максимальные коммутативные подалгебры Пуассона, бипуассоновы структуры и 2-разложения алгебр Ли
Abstract:
In the theory of integrable systems, one of the fundamental problems is to construct a complete set of first integrals in involution for a Hamiltonian dynamical system. In algebraic terms, the problem consists of constructing a commutative subalgebra of maximum transcendence degree in a given Poisson algebra F. One of the methods for constructing commutative Poisson subalgebras is the Lenard–Magri scheme, which is based on the use of a bi‑Poisson structure, i.e., another Poisson bracket on F, consistent with the original one. This scheme, in particular, encompasses the well‑known Mishchenko–Fomenko argument shift method.
In the case where F = S(g) is the symmetric algebra of the Lie algebra g with the Poisson–Lie bracket, and the second Poisson bracket is also linear, i.e., it defines another Lie algebra structure on g, a sheaf of consistent Lie brackets on g arises, parametrized (up to proportionality) by points of the projective line. We will show that under certain assumptions, for example, if the Lie algebra g is semisimple, the Lenard–Magri scheme leads in this situation to a commutative Poisson subalgebra of maximum transcendence degree if and only if all parameter values in the pencil are regular, i.e., the indices of the Lie algebras corresponding to different parameter values coincide.
As an application, we will consider two constructions of a pencil of consistent Lie brackets. One of them, proposed by Panyushev and Yakimova (2021), is based on a 2-decomposition of the Lie algebra g, i.e., a decomposition g = f + h into the direct sum of two Lie subalgebras. In this case, we will show that the commutative Poisson subalgebra constructed according to the Lenard–Magri scheme has the maximum degree of transcendence if and only if the subalgebras f and h are spherical (in a special case, this is a result of Panyusheva and Yakimova). The second construction for g = gl(n) uses the A-bracket: Lie [X,Y]_A = XAY - YAX, consistent with the standard matrix commutator (here A is a fixed matrix from gl(n)). It turns out that the corresponding commutative Poisson subalgebra C has the maximum degree of transcendence if and only if the matrix A is regular, i.e., the geometric multiplicities of all its eigenvalues are equal to 1. In this case, C coincides with the Mishchenko–Fomenko algebra constructed by shifting the argument along -A. These results belong to D.A. Astrelina (2026).
Аннотация:
В теории интегрируемых систем одной из фундаментальных задач является построение полного набора первых интегралов в инволюции для гамильтоновой динамической системы. На алгебраическом языке задача состоит в построении коммутативной подалгебры максимальной степени трансцендентности в данной алгебре Пуассона F. Одним из методов построения коммутативных пуассоновых подалгебр является схема Ленарда-Магри, основанная на использовании бипуассоновой структуры, т.е. другой скобки Пуассона на F, согласованной с исходной. В эту схему, в частности, укладывается известный метод сдвига аргумента Мищенко-Фоменко.
В случае, когда F = S(g) — симметрическая алгебра алгебры Ли g со скобкой Пуассона-Ли, и вторая скобка Пуассона также линейна, т.е. задаёт ещё одну структуру алгебры Ли на g, возникает пучок согласованных скобок Ли на g, параметризованных (с точностью до пропорциональности) точками проективной прямой. Мы покажем, что при некоторых предположениях, например, если алгебра Ли g полупроста, схема Ленарда-Магри приводит в этой ситуации к коммутативной пуассоновой подалгебре максимальной степени трансцендентности тогда и только тогда, когда все значения параметра в пучке регулярны, т.е. индексы алгебр Ли, отвечающих разным значениям параметра, совпадают.
В качестве приложения мы рассмотрим две конструкции пучка согласованных скобок Ли. Одна из них, предложенная Панюшевым и Якимовой (2021), основана на 2-разложении алгебры Ли g, т.е. разложении g = f + h в прямую сумму двух подалгебр Ли. Мы покажем в этом случае, что коммутативная подалгебра Пуассона, построенная по схеме Ленарда-Магри, имеет максимальную степень трансцендентности тогда и только тогда, когда подалгебры f и h являются сферическими (в частном случае это результат Панюшева-Якимовой). Вторая конструкция для g = gl(n) использует A-скобку Ли [X,Y]_A = XAY - YAX, согласованную со стандартным коммутатором матриц (здесь A — фиксированная матрица из gl(n)). Оказывается, соответствующая коммутативная подалгебра Пуассона С имеет максимальную степень трансцендентности тогда и только тогда, когда матрица A регулярна, т.е. геометрические кратности всех её собственных значений равны 1. При этом C совпадает с алгеброй Мищенко-Фоменко, построенной сдвигом аргумента вдоль -A. Эти результаты принадлежат Д.А. Астрелиной (2026).
22 сентября 2026 (вторник) в 18:30 (по Москве) ТОЛЬКО ОНЛАЙН в Zoom состоится доклад:
Докладчик: Atabey Kaygun (Istanbul Technical University)
Signed Euler--Smith Profiles of Graded Algebras
Abstract:
Matrix Hilbert series retain local elementary-divisor data that their determinants discard. For locally finite positively graded elementary algebras whose vertex simples are of type $\FP_\infty$ and whose matrix Hilbert series is rational, we construct from minimal resolutions a rational Euler matrix and a signed Smith profile at $x=1$. The profile refines pole-order growth for perfect modules and is invariant under graded Morita and perfect-derived equivalences. This extends the Smith framework for twisted Calabi--Yau algebras to a setting in which the Euler matrix may itself have poles.
15 сентября 2026 (вторник) в 18:30 (по Москве) в ауд.310 НМУ и ОНЛАЙН в Zoom состоится доклад:
Докладчик: Boris Galitski (MIPT)
Abstract:
The topic of his talk is somewhat unusual for the seminar, but very important for modern mathematics and other sciences. He will speak about the Large Language Models, their "hallucinations", and how to detect and correct their mistakes (based on, but not limited to, medical LLMs). The talk is going to be rather informal, so I don't give title and abstract.