Описание курса

Этот курс является простым введением в теорию узлов. Мы сосредоточимся на геометрических аспектах, связанных с узлами, и на развитии соответствующей техники.

Курс не требует больших предварительных знаний, для понимания достаточно владеть основами топологии (определение фундаментальной группы и группы первых гомологий будут при необходимости подробно разобраны).

В конце курса, если останется время, мы обсудим как узлы позволяют описывать замкнутые ориентируемые трёхмерные многообразия, а также основы теории инвариантов конечного типа для узлов.

Примерная программа курса

1. Ручные и дикие узлы. Изотопии и объемлющие изотопии. Диаграмма узла. Теорема Рейдемейстера
2. Группы кос, теоремы Александера и Маркова о замыкании. Инварианты узлов: трёхцветные раскраски диаграммы
3. Скобка Кауфмана, полином Джонса
4. Сумма узлов. Нетривиальность суммы (через мошенничество Мазура-Эйленберга)
5. Поверхности Зейферта, род узла. Аддитивность рода. Трубчатая эквивалентность поверхностей Зейферта
6. Единственность разложения узла в сумму простых. Теорема Ликориша о склейке простых 2-тэнглов
7. Фундаментальная группа дополнения узла/зацепления, копредставление Виртингера
8. Коэффициент зацепления. Брунновы зацепления
9. Несжимаемые торы. Сателлитные узлы, каблирование, удвоения Бинга и Уайтхеда
10. Распознавание зацепленности с помощью поверхности Зейферта рода 1 (томский сертификат)
11. Теорема о петле, лемма Дена. Если группа зацепления свободна, то зацепление тривиально
12. Циклы на поверхностях. Матрица Зейферта
13. Детерминант и сигнатура узла. Полином Александера
14. Трёхмерные многообразия: разбиения Хегора. Теорема Дена-Ликориша. Перестройки по зацеплениям. Линзовые пространства
15. Инварианты Васильева (конечного типа). Хордовые диаграммы, весовые системы

Список литературы

Прасолов, Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия
Adams. The knot book. An elementary introduction to the mathematical theory of knots
Сосинский. Узлы, хронология одной математической теории
Kauffman. On knots
Rolfsen. Knots and links
Livingston. Knot theory
Прасолов. Поверхность Зейферта 1999
Malyutin. Knot transformations and conditions of link non-splittability 2023
Дужин. Комбинаторные аспекты инвариантов конечного типа 2011
Папакирьякопулос. О лемме Дена и асферичности узлов 1958
Hatcher. Notes on Basic 3-Manifold Topology 2023
Bar-Natan, Fulman, Kauffman. An elementary proof that all spanning surfaces of a link are tubeequivalent 1998
Lickorish. Prime knots and tangles 1981

Программа файлом