Примерная программа курса

(1) Множества, отношения, функции.

Операции с множествами, определение функций, композиция функций, существование обратной функции и биекции, универсальность группы биекций, теорема Кантора–Бернштейна, отношение эквивалентности, отношение частичного порядка, множество натуральных чисел и математическая индукция, вполне упорядоченные множества, аксиома выбора, лемма Цорна, теоремы Цермело.

(2) Множество вещественных чисел. Последовательности и ряды.

Эквивалентность принципов полноты, свойства предела последовательности и суммы ряда, теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности и признаки сходимости рядов с неотрицательными членами, подпоследовательно-сти, частные пределы и группировка членов ряда, критерии Коши, теоремы Римана и Коши о перестановках рядов, произведение рядов.

(3) Метрические пространства. Полнота. Топология.

Пространства R, R^d, пространства вложенных шаров, принцип сжимающего отображения, отделимые и сепарабельные пространства, компактные, метрика Хаусдорфа, фракталы, множество Кантора, существование и единственность пополнений, построение множества вещественных чисел и множества ppp-адических чисел, комплексные числа

(4) Непрерывные отображения метрических пространств.

Эквивалентные определения, непрерывность композиции, теорема Вейерштрасса-Коши о промежуточном значении и связанные множества, теорема Кантора о равномерной непрерывности, многообразия Бернштейна и теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной на отрезке функции, теорема Стоуна-Вейерштрасса, предел функции на метрическом пространстве, предел функции по базе и его свойства, кривая Пеано, длина кривой и ее свойства, построение элементарных функций, индекс кривой на плоскости, основная теорема алгебры, теорема Брауэра, теорема Борсука-Улама.

(5) Производная и первообразная.

Производная и дифференциал, пример Вейерштрасса, теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, правило Лопиталя, формула Тейлора, ряд Тейлора, теорема Больцано, исследование функций с помощью производных, выпуклые функции и их свойства, первообразная и неопределенный интеграл, теорема Лиувилля об интегрируемости в элементарных функциях.

(6) Интеграл Римана.

Формула Ньютона-Лейбница, свойства линейности, монотонности и аддитивности, критерии интегрируемости, существование первообразной у непрерывной функции, формула интегрирования по частям, формула замены переменной, интеграл Римана–Стильтьеса и его свойства.

Примерная программа курса файлом