Тарас Евгеньевич Панов
Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий
Научно-исследовательский семинар, совместно с Международной Лабораторией алгебраической топологии и её приложений ФКН НИУ ВШЭ.
Страница семинара в прошлые семестры
Плейлист курса – на YouTube и на RuTube
Лекции читаются очно по понедельникам с 17:30, в аудитории 310 и транслируются на YouTube и на RuTube.
ВЕСНА 2026
27 апреля 2026 (понедельник), 17:30 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Андрей Владиславович Витковский
Тема: Компактификация Лосева-Манина пространств модулей рациональных алгебраических кривых
Аннотация доклада:
В совместной статье 2000 года A.Лосева, Ю.Манина предложен альтернативный подход к компактификации пространств модулей рациональных алгебраических кривых.
Разделим отмеченные точки на две группы, назовем их "белыми" и "черными", причем черным точкам, в отличие от белых, разрешено "сливаться". Если белыми обозначить 0 и бесконечность, а все остальные точки положить черными, мы получим гладкое многообразие \overline{L_n}, которое представляет собой функтор, каждой схеме ставящий в соответствие набор классов изоморфизмов направленных стабильных кривых рода 0 над схемой с интересной комбинаторикой в слоях. Помимо всего прочего, эти многообразия оказываются торическими многообразиями над пермутоэдром с достаточно простым алгоритмом построения соответствующего веера.
В докладе будет кратко изложен материал соответствующей статьи, а также будут приведены некоторые наблюдения, связанные с возможной квазиторичностью пространств модулей рациональных кривых в стандартной компактификации Делиня-Мамфорда.
20 апреля 2026 (понедельник), 17:30 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Михаил Николаевич Шенгелия
Тема: Группы автоморфизмов рациональных комплексных момент-угол-многообразий
Аннотация доклада:
Комплексные момент-угол-многообразия составляют класс некэлеровых (за исключением торов) компактных многообразий, топологически представляющих собой момент-угол-комплексы.
Конструкция экспоненциального действия позволяет по полному симплициальному вееру Σ построить гладкое многообразие Z, гомеоморфное момент-угол-комплексу, как пространство орбит действия векторного пространства V на квазиаффинном пространстве U. Если размерность V чётна, выбор комплексной структуры в V определяет модифицированное голоморфное действие V × U -> U, пространство орбит которого есть комплексное многообразие, диффеоморфное Z.
В случае, когда веер Σ рационален и регулярен, Z есть тотальное пространство главного расслоения над неособым торическим многообразием X, соответствующим Σ, со структурной группой F --- комплексный компактный тор.
В докладе посредством изучения топологических свойств расслоений Z -> X будет дано полное описание биголоморфных автоморфизмов многообразий Z в случае рационального регулярного веера, включая группы компонент Aut(Z)/Aut^0(Z). Оно окажется аналогично известному описанию групп автоморфизмов полных торических многообразий.
13 апреля 2026 (понедельник), 17:30 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Юлия Ивановна Зайцева
Тема: Аффинные алгебраические моноиды
Аннотация доклада:
Алгебраической полугруппой называется алгебраическое многообразие X с ассоциативным умножением X×X→X, являющимся морфизмом алгебраических многообразий. Алгебраическая полугруппа называется алгебраическим моноидом, если в ней есть нейтральный элемент. Про алгебраические полугруппы и моноиды известно довольно много. Например, можно доказать, что в любой алгебраической полугруппе есть идемпотент, а в любой коммутативной алгебраической полугруппе число идемпотентов конечно. Группа обратимых элементов алгебраического моноида X является алгебраической группой, открытой по Зарисскому в X. Это помогает классифицировать алгебраические моноиды в случае некоторых типов групп. Так, для редуктивных групп можно использовать теорию представлений со старшим весом, а для унипотентных групп изучать действия аддитивной группы поля с помощью локально нильпотентных дифференцирований алгебры регулярных функций на X. Я сделаю доклад про различные результаты в этой области.
6 апреля 2026 (понедельник), 17:30 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Андрей Александрович Кустарев
Тема: Линейное программирование и малые накрытия
Аннотация доклада:
Мы обсудим, как свести задачу линейного программирования (и более общо, задачу поиска максимума любой гладкой функции на выпуклом многограннике) к исследованию градиентного потока гладкой функции на многообразии-малом накрытии. Малое накрытие строится по многограннику, образованному соответствующими линейными ограничениями, а гладкая функция на исходном многограннике поднимается до гладкой функции на малом накрытии. Будет приведено доказательство сходимости градиентного потока к глобальному максимуму в случае простого многогранника и линейной функции общего положения.
30 марта 2026 (понедельник), 17:30 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Всеволод Аркадьевич Триль
Тема: Проблема асферичности для конфигураций диагональных подпространств
<Аннотация доклада:
Широко известно, что классифицирующим пространством группы крашеных кос является дополнение набора гиперплоскостей {z_i = z_j} в C^m. Данный факт был доказан в работах Фаделла, Фокса и Нойвирта, а затем использовался Арнольдом для вычисления кольца когомологий группы крашеных кос. Позднее Брискорн и Делинь получили более общий результат о том, что дополнение комплексной конфигурации гиперплоскостей, отвечающей произвольной конечной группе Кокстера, является пространством Эйленберга--Маклейна соответствующей чистой группы Артина.
В связи с этим возникла общая постановка задачи об асферичности дополнений конфигураций комплексных гиперплоскостей, а затем и дополнений вещественных конфигураций подпространств коразмерности 2. Мы рассматриваем данную задачу для семейства вещественных диагональных конфигураций. Мы обсудим подход к её решению, основанный на понятии CAT(0)-пространств и кривизны по Громову, и установим критерий того, что кубическое подразбиение пермутоэдрального комплекса имеет неположительную кривизну.
23 марта 2026 (понедельник), 17:30 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Азизов Давид Абдулкадыр оглу
Тема: Группы автоморфизмов вещественных многообразий в C^3
Аннотация доклада:
Рассмотрим вещественное многообразие M в размерности d в комплексном пространстве C^N с координатами (z_1,...,z_N). Пусть p -- точка на этом многообразии и M_p -- росток M в точке p. Тогда алгебра Ли ростков вещественных векторных полей с голоморфными коэффициентами в точке p, касательных к M_p, может быть получена путём построения модельной поверхности этого многообразия.
Процедура построения модельных поверхностей как метода поиска алгебр и групп Ли известна из работ Ш.Ш. Черна и Ю.К. Мозера. Более явные результаты по этой теме представлены в работах А.Г. Витушкина и В.К. Белошапки. В них рассматриваются процедуры построения модельных поверхностей в случае произвольных значений d и N.
На семинаре будет продемонстрировано применение данного подхода, с дальнейшим поиском групп голоморфных автоморфизмов, для 4-мерного вещественного многообразия M=S^1xS^3, вложенного в C^3, а также описание орбит этих групп. Также будет затронута процедура построения модельной поверхности в общем случае.
16 марта 2026 (понедельник), 17:30 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Олег Михайлович Рысин
Тема: Когомологии Дольбо комплексных момент-угол-многообразий
Аннотация доклада:
Рассмотрим в пространстве R^n полный симплициальный веер. Известно, что момент-угол-комплекс Z_K, соответствующий подлежащему симплициальному комплексу веера, является топологическим многообразием. Фактор-конструкция, основанная на вещественном (комплексном) экспоненциальном действии, позволяет наделить Z_K гладкой (комплексной) структурой.
Инвариантами комплексной структуры являются когомологии Дольбо Z_K. В случае, когда веер рационален, фактор-конструкцию удается связать с конструкцией Батырева-Кокса для торических многообразий, эта связь позволяет построить модель, с помощью которой кольцо когомологий вячисляется явно.
Чтобы изучать когомологии Дольбо в общей ситуации, понадобится такой инструмент, как базисные когомологии. В работах Т.Е. Панова и Р.В. Крутовского была построена модель для когомологий Дольбо, которая использует кольцо базисных когомологий Z_K, а также получено описание этого кольца. Эта модель, однако, не столь явная, как в рациональном случае.
В докладе мы обзорно разберем описанные выше конструкции и результаты и применим модель для общего случая, чтобы изучить когомологии Дольбо многообразий Калаби-Экмана -- произведений двух нечетномерных сфер с некэлеровой комплексной структурой; в случае сфер одинаковой размерности кольцо когомологий удастся вычислить с точностью до изоморфизма.
2 марта 2026 (понедельник), 17:30 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
<Докладчик: Матвей Андреевич Сергеев
Тема: Замыкания орбит алгебраического тора в грассманианах G(n,2)
Аннотация доклада:
Рассмотрим стандартное действие тора T^n = (S^1)^n на комплексном многообразии Грассмана G(n,2). Задача описания пространства орбит G(n,2)/T^n является крайне нетривиальной. Используя соответствующий многогранник моментов — гиперсимплекс \Delta(n,2) и стандартное действие алгебраического тора (C^*)^n на G(n,2), В.М. Бухштабер и С. Терзич предложили топологическую модель для G(n,2)/T^n. Ключевыми ингредиентами модели являются стратификация G(n,2), введенная И.М. Гельфандом и В.В. Сергановой, и определенная компактификация алгебраического многообразия, которое параметризует (C^*)^n-орбиты вдоль выделенного (главного) страта. Как выяснилось, данное алгебраическое многообразие является пространством модулей рациональных кривых M(0,n) с n отмеченными точками, а соответствующая компактификация — это компактификация Делиня—Мамфорда.
В докладе будет показана связь между стратами и пространствами модулей рациональных кривых M(0,N) с N отмеченными точками, где 2 \le N \le n. Оказывается, что для каждого страта W можно построить каноническое расслоение над M(0,N), слоями которого являются (C^*)^n-орбиты, лежащие в W. Более того, замыканию страта W соответствует продолжение этого расслоения до проекции в компактификацию пространства M_{0,N}. Таким образом, мы вводим семейство компактификаций пространств модулей, параметризующих торические многообразия в G(n,2), возникающие как замыкания орбит алгебраического тора.
16 февраля 2026 (понедельник), 17:30 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Григорий Валерьевич Корюкин
Тема: Численные характеристики торических многообразий Фано
Аннотация доклада:
Мы рассмотрим некоторые оценки на число Пикара, степень многообразия, объем многогранника и характеристические числа торических многообразий Фано.
[1] O. Debarre, Toric Fano varieties in Higher dimensional varieties and rational points, lectures of the summer school and conference, Budapest 2001, Bolyai Society Mathematical Studies 12, Springer, 2001.
[2] И. Ю. Лимонченко, Т. Е. Панов, Г. С. Черных, "SU -бордизмы: структурные результаты и геометрические представители", УМН, 74:3(447) (2019), 95–166; Russian Math. Surveys, 74:3 (2019), 461–524.