Листки

Листок 1

Система оценок за курс:

Курс считается сданным, если получен зачет по задачам из листочков и сдан экзамен по курсу на оценку не ниже, чем "удовлетворительно" - в таком случае итогоая оценка за курс равна оценке за экзамен.

Примерная программа курса

(1) Множества, отношения, функции.

Операции с множествами, определение функций, композиция функций, существование обратной функции и биекции, универсальность группы биекций, теорема Кантора–Бернштейна, отношение эквивалентности, отношение частичного порядка, множество натуральных чисел и математическая индукция, вполне упорядоченные множества, аксиома выбора, лемма Цорна, теоремы Цермело.

(2) Множество вещественных чисел. Последовательности и ряды.

Эквивалентность принципов полноты, свойства предела последовательности и суммы ряда, теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности и признаки сходимости рядов с неотрицательными членами, подпоследовательно-сти, частные пределы и группировка членов ряда, критерии Коши, теоремы Римана и Коши о перестановках рядов, произведение рядов.

(3) Метрические пространства. Полнота. Топология.

Пространства R, R^d, пространства вложенных шаров, принцип сжимающего отображения, отделимые и сепарабельные пространства, компактные, метрика Хаусдорфа, фракталы, множество Кантора, существование и единственность пополнений, построение множества вещественных чисел и множества ppp-адических чисел, комплексные числа

(4) Непрерывные отображения метрических пространств.

Эквивалентные определения, непрерывность композиции, теорема Вейерштрасса-Коши о промежуточном значении и связанные множества, теорема Кантора о равномерной непрерывности, многообразия Бернштейна и теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной на отрезке функции, теорема Стоуна-Вейерштрасса, предел функции на метрическом пространстве, предел функции по базе и его свойства, кривая Пеано, длина кривой и ее свойства, построение элементарных функций, индекс кривой на плоскости, основная теорема алгебры, теорема Брауэра, теорема Борсука-Улама.

(5) Производная и первообразная.

Производная и дифференциал, пример Вейерштрасса, теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, правило Лопиталя, формула Тейлора, ряд Тейлора, теорема Больцано, исследование функций с помощью производных, выпуклые функции и их свойства, первообразная и неопределенный интеграл, теорема Лиувилля об интегрируемости в элементарных функциях.

(6) Интеграл Римана.

Формула Ньютона-Лейбница, свойства линейности, монотонности и аддитивности, критерии интегрируемости, существование первообразной у непрерывной функции, формула интегрирования по частям, формула замены переменной, интеграл Римана–Стильтьеса и его свойства.

Литература:

1. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. - 7-е изд., стереотип. - М.: МЦНМО, 2023.
2. Зорич В.А. Математический анализ. Части I и II. Изд. 12-е, стереотип. - М.: МЦНМО, 2023.
3. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. - М. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика">>", Институт компьютерных исследований, 2009.
4. Львовский С.М. Лекции по математическому анализу. - Изд. 2-е, испр. - М.: МЦНМО, 2013.
5. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях: В 3-х т. Том 1: Дифференциальное и интегральное исчисление. - Новое изд. - М.: Изд-во Московского университета; МЦНМО, 2017.

Примерная программа курса файлом