Трудный межкампусный спецкурс на русском для 3-го курса и старше

(две пары в неделю) читается на факультете математики ВШЭ (Усачева, 6) по понедельникам с 13:00 в ауд.108

Для пропуска надо указать ФИО  полн. и 07.09 Понд. 13:00 ауд. 108. Тем, кто решит ходить на курс, пропуск выдадут до конца года 2026

Относится к линейке

«Дифференциальные уравнения и интегрируемые системы».

Учебная нагрузка: осенний семестр 2026/27 уч. года, две пары в неделю, 6 кредитов.

Преподаватели: Ю. С. Ильяшенко, И. С. Шилин.

Описание

Развитие теории уравнений с частными производными (УРЧП) можно условно разбить на три периода, когда теория использовала
– классический анализ,
– функциональный анализ,
– обобщенные функции.

Все три периода будут проиллюстрированы на уравнениях второго порядка. Кроме того, будет дано введение в теорию пространств Соболева и связанную с ней теорию обобщенных функций, которая составила эпоху в развитии анализа прошлого века. Если позволит время, будут прочтены две обзорные лекции: о проблеме турбулентности и о теореме Хермандера о фундаментальных решениях.

Пререквизиты

Для понимания курса необходим курс анализа (4 семестра), линейная алгебра и некоторые сведения из функционального анализа: пространства Гильберта и интегральные операторы. Необходимые сведения об интегральных операторах будут сформулированы в курсе.

Программа

1. Линейные дифференциальные операторы и их символы. Классификация линейных операторов второго порядка.
2. Уравнение струны: методы Даламбера и Фурье.
3. Периода ньютоновского потенциала и свойства гармонических функций.
4. Спектр оператора Штурма – Лиувилля.
5. Пространства Соболева.
6. Краевые задачи для уравнения Лапласа.
7. Задача Коши для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.
8. Уравнение Навье–Стокса и проблема турбулентности. *
9. Фундаментальные решения уравнений Лапласа, Коши–Римана и других уравнений. Решение неоднородных уравнений с помощью фундаментальных решений.
10. Теорема Хермандера о фундаментальных решениях. *

Учебники

1. В. И. Арнольд. Лекции об уравнениях с частными производными.
2. В. С. Владимиров. Уравнения математической физики.
3. О. А. Олейник. Лекции об уравнениях с частными производными.
4. М. А. Шубин. Лекции об уравнениях математической физики.
5. Сборник задач по уравнениям с частными производными / под ред. А. С. Шамаева.