Программа курса

1. Обзор. Разделы математики, в которых встречаются модулярные кривые. Последняя теорема Ферма и группа Монстр. Связь с классификацией эллиптических кривых.
2. Эллиптические кривые. История: длина дуги эллипса и классификация плоских кубик Ньютоном. Современное понимание изоморфизма кривых и точек конечного порядка. Уровневые структуры и модулярные кривые.
3. Одномерные комплексные торы. Топология комплексных плоскостей. Униформизация; действие на верхней полуплоскости группы PSL_2(Z) и её подгрупп конечного индекса. Модулярные кривые X(N), X_0(N), X_1(N); примеры. Элементы теории детских рисунков.
4. Общее определение модулярных кривых. Уровневые структуры на эллиптических кривых. Модулярные кривые как базы универсальных семейств эллиптических кривых с этим структурами. Кратко об аналогах для высших родов.
5. Уравнения модулярных кривых. Примеры с обозримыми уравнениями. Примеры уравнений большой сложности. Модулярные кривые над конечными полями.
6. Отступление: Последняя Теорема Ферма. Формулировка и история. Малые показатели. Результаты 19-го века. Уравнение x^7+y^7=z^7 и его современное понимание.
7. Модулярность эллиптических кривых. Гипотеза (Вейля)-Шимуры-Таньямы и её доказательство Уайлсом. Применение к Последней Теореме Ферма.
8. Отступление: конечные простые группы. Определения и результаты. Группы лиева типа над конечными полями. Знакопеременные группы как лиевы над "полем" F_1. Спорадические группы. Монстр.
9. Рациональность модулярных кривых. Связь с простыми делителями порядка Монстра. Полные и частичные объяснения.
10. Обобщения и перспективы. Абелевы многообразия с комплексным умножением. Поверхности Гильберта-Блюменталя. Факторы шара. Вычисления пар Белого. Открытые проблемы.

Программа файлом