Цель курса – рассказать ряд базовых результатов и техник в комплексной геометрии, дойдя до тех, что не содержатся в книжках ГриффитсаХарриса и/или Хойхбрехтса. Среди них L 2 -оценка Хёрмандера (и теорема Кодаиры как следствие из нее), а также теорема Калаби-Яу (и геометрические следствия из нее). Также хотелось бы обсудить саму кэлерову геометрию, т.е. как кривизна влияет на свойства многообразия, как устроены многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны, etc.

Пререквизиты курса

Уверенное владение материалом первых двух курсов НМУ. Также не помешают знания из курсов римановой геометрии, УрЧП и функционального анализа.

Программа курса

1. (Почти) комплексные многообразия. Голоморфные и плюрисубгармонические функции, а также сопутствующая линейная алгебра. Примеры.
2. Подмногообразия и дивизоры.
3. Голоморфные расслоения и когерентные пучки. Когомологии.
4. Эрмитовы метрики и связность Черна. Кривизна. Подрасслоения, вторая фундаментальная форма и уравнение Гаусса.
5. Кэлеровы метрики, связность Леви-Чивита, секционные кривизны и кривизна Риччи. Кэлеровы тождества. Теорема Ходжа и достаточно детальный набросок доказательства.
   Тут, наверное, нужен комментарий. Обычно теорему Ходжа либо вообще не доказывают, либо пересказывают все ее доказательство (например по книжке Уорнера). Я бы хотел избрать другой путь: я не хочу не доказывать самые трудные аналитические факты типа леммы Реллиха или неравенства ||u||s+2 ⩽ Cs(||∆u||s + ||u||s), но хочу показать, как они работают и зачем они вообще нужны. Так люди поймут, как работает теория УрЧП в доказательстве, но при этом не будет потрачено много времени.
6. Возвращение к кривизнам: положительная/отрицательная кривизна. Лемма Шварца и формулы Кодаиры-Бохнера. Следствия из них.
7. L²-оценка Хёрмандера. Мультипликаторные пучки идеалов, теорема Наделя. Теорема Кодаиры как следствие из них.
8. (опционально) Доказательство теоремы Ньюлендера-Ниренберга об интегрируемости почти комплексных структур, используя L²-оценку Хёрмандера.
   Тут тоже требуется пояснение. Дело в том, что доказательство L²-оценки использует только тот факт, что тензор Нийенхейса равен нулю, т.е. имеет место разложение d = ∂ + ∂ дифференциала де Рама на k-формах. Пользуясь этим, можно легко доказать существование голоморфных координат в окрестности каждой точки.
9. Уравнение Монжа-Ампера и теорема Калаби-Яу. Существование метрик Кэлера-Эйнштейна на многообразиях общего типа и на многообразиях с нулевым классом Черна.
10. Если останется время: можно рассказать теорему Демайи-Пауна о характеристике кэлерова конуса через интегралы по подмногообразиям (там существенно используется теорема Калаби-Яу).

Формат курса

1. Курс будет читаться дистанционно.
2. Семинара для приема задач не будет, вместо этого будет еще одна лекция. Всего будет две лекции в неделю.
   Причины: без двух лекций в неделю нельзя надеяться изложить вышеуказанный материал. Кроме того, я не уверен в своей способности обслужить большое количество студентов, равно как и в возможности найти людей, уверенно владеющих материалом второй половины курса. Опять же, прием задач в НМУ зачастую превращается в некритичный пересказ материалов из книжек, особенно на сложных курсах. Хотелось бы этого избежать.
3. Домашние задания будут письменными, присылаться мне на почту. Листки будут выдаваться раз в две недели, будут содержать около десяти не очень простых задач.
4. Оценка за курс ставится по результатам решения домашних работ.

У курса может быть продолжение.