Фёдор Вылегжанин

Конфигурационные пространства

Спецкурс читается очно по понедельникам, в 19:20 в аудитории 303 и транслируются на YouTube и на RuTube.

Анонс курса – на YouTube и на RuTube

Плейлист курса – на YouTube и на RuTube

Канал спецкурса

Лекций 11 и 18 мая не будет, домашний экзамен по курсу пройдёт 25-31 мая.

Листки

Листок 1

Аннотация:

Наборы из n различных точек пространства X образуют новое пространство Conf_n(X) ⊆ X^n (вариант: если точки не упорядочены — пространство C_n(X) = Conf_n(X) / S_n). Мы обсудим их топологию и понятия современной алгебры, в терминах которых описываются (ко)гомологии конфигурационных пространств.

Программа курса:

  1. Конфигурации точек в евклидовом пространстве. Классические инварианты ((ко)гомологии, гомотопические группы, гомологии петель), связь с группами кос.
  2. Операды и монады. Операда маленьких дисков. E_k-алгебры и кратные пространства петель (принцип распознавания Мэя).
  3. Эквивариантная топология конф. пространств и топологическая комбинаторика.
  4. Операции в гомологиях алгебры над dg-операдой. Операции Дайера-Лашофа и гомологии кратных пространств петель.
  5. Конф. пространства точек с метками. Сканирующее отображение, теорема об аппроксимации, расщепление Снэйта.
  6. Конф. пространства точек с метками в моноиде. Классифицирующее пространство моноида, групповое пополнение. Гомологии группового пополнения и плюс-конструкция. Обобщение на частичные абелевы моноиды.
  7. * Гомологическая стабильность для конф. пространств. Representation stability.
  8. * Конф. пространства и задачи о вложении многообразий.
  9. * Формальность операды маленьких дисков, гипотеза Делиня, интеграл Концевича.
  10. * Факторизационные гомологии и неабелева двойственность Пуанкаре.

    11. (темы, помеченные звёздочкой, не входят в экзамен).

Частичный список литературы:

  1. Kallel "Configuration spaces of points: a user's guide"
  2. Knudsen "Configuration spaces in algebraic topology"
  3. Cohen, Lada, May "The homology of iterated loop spaces"
  4. Knudsen "Lie algebras and the (co)homology of configuration spaces"
  5. Bodigheimer "Stable splittings of mapping spaces"
  6. Cnossen "Configuration spaces as partial abelian monoids"

Пререквизиты: Основы алгебраической топологии (в том числе двойственность Пуанкаре) и теории категорий. Местами будет нужно знакомство с более продвинутыми сюжетами (спектральные последовательности, симплициальные множества, гомотопические копределы).

Конспект лекций   Листки с задачами

Формат сдачи: домашний экзамен