Совместный с ВШМ МФТИ спецкурс рекомендован для 3-го курса и старше.

Анонс курса – на YouTube и на RuTube

Страница курса с обновлениями

Этот курс засчитывается в НМУ, а также как факультатив в МФТИ. Лекции читаются в МФТИ по вторникам последней парой (18:35 - 20:00).

Вот чат слушателей курса, в нём будут обсуждаться орг.вопросы (например расписание) и, возможно, вопросы по материалу. Ещё можно писать мне в телеграм или на почту ryabichev@179.ru

Если у вас нет пропуска МФТИ, но вы хотите посещать курс, пожалуйста напишите мне заранее.

Описание курса:

В этом курсе мы погрузимся в отдельную область дифференциальной топологии — глобальную теорию особенностей, а более конкретно — в задачи о построении отображений с заданными особенностями.

Самая простая из таких задач — построение погружения (отображения со всюду невырожденным дифференциалом, то есть попросту без особенностей). Оказывается, задача о существовании погружения между заданными многообразиями полностью определяется их касательными расслоениями, и таким образом редуцируется к чисто гомотопической задаче. Такой эффект известен как h-принцип, он получил известность в виде теоремы Смейла о выворачивании сферы, мы же обсудим и чуть более сложные его проявления.

Другое центральное место курса — доказательство существования так называемых многочленов Тома. Оказывается, чтобы вычислить гомологические классы особенностей отображения, достаточно знать как оно действует на характеристических классах. То, как через них выражается класс особенности, и называется многочленом Тома, мы вычислим его в простейших случаях. Он универсален для заданного класса особенностей и, хотя и не даёт полного ответа о возможности устранения особенностей данного класса, иногда всё же оказывается достаточным.

Наконец, третья цель курса — решение задачи о существовании отображения с заданными бордмановскими особенностями (т. е. “общего положения”) между многообразиями одинаковой малой размерности — 2, 3, либо 4. В общем же случае бордмановская классификация особенностей не является полной, о чём мы также поговорим.

Попутно мы обсудим и применим множество классических инструментов дифференциальной топологии: пространства струй, топологию Уитни, трансверсальность, векторные расслоения и их характеристические классы (пожалуй, наглядность демонстрации применения всей этой техники — ещё одна цель курса). Также, если хватит времени, мы немного обсудим локальную теорию особенностей, гладкую и топологическую устойчивость.

Курс рассчитан на студентов старше 2 курса. Помимо основ топологии, для понимания курса полезно быть знакомым с гладкими многообразиями и началом теории гомологий (хотя все необходимые сведения могут быть быстро напомнены).

Примерный план:

1. Многообразия, касательные расслоения. Критические точки и критические значения. Трансверсальность. Лемма Сарда
2. Пространство струй, топология Уитни. Теорема Тома о трансверсальности
3. Локальная устойчивость погружений. Теорема Смейла-Хирша. Пример: поверхность Боя, её самопересечения
4. Теорема о голономной аппроксимации. Параметрический h-принцип Смейла-Хирша по Громову. Примеры: выворачивание сфер
5. Отображения с заданными особенностями. Пример: разветвлённые накрытия поверхностей, проблема Гурвица, решение для базы рода > 0, формула Римана-Гурвица.
6. Теорема Уитни об особенностях общего положения в размерности 2
7. h-принцип Элиашберга для погружений со складками. Пространство погружений со складками и погружений с морщинами*
8. Векторные расслоения и их характеристические классы, классифицирующие пространства и универсальные расслоения. Характеристические классы как препятствия. Теорема Дольда- Уитни
9. Отображения поверхностей с заданными складками и сборками. Как восстановить обратный образ касательного расслоения по локусам особенностей
10. Классификация особенностей по Бордману, примеры в малых размерностях. Страты Борд- мана в пространстве струй
11. Многочлены Тома для особенностей, доказательство теоремы о существовании. Вычисления для мореновских особенностей
12. Отображения с заданными особенностями в размерности 3 и 4
13. Стратификация полуалгебраических множеств. Стратификация Бордмана не регулярна
14. Неполнота классификации Бордмана. Устойчивость и инфинитезимальная устойчивость*. Хорошие размерности Мазера. Топологическая устойчивость*
15. Многочлены Тома для мультиособенностей: классы самопересечений погружений

Литература

• Мишачев, Элиашберг. Введение в h-принцип
• Голубицкий, Гийемин. Устойчивые отображения и их особенности
• Громов. Дифференциальные соотношения с частными производными
• Хирш. Дифференциальная топология
• Арнольд, Варченко, Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. Том 1
• Арнольд, Васильев, Горюнов, Ляшко. Особенности I, Локальная и глобальная теория
• Горески, Макферсон. Стратифицированная теория Морса
• Казарян. Характеристические классы в теории особенностей 2003
• Gibson, Wirthmuller, du Plessis, Looijenga. Topological Stability of Smooth Mappings







 
•  
•  
•  
•  
•