Медведев Владимир Олегович

Геометрия общей теории относительности

Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ.

Лекции читаются очно по вторникам на матфаке ВШЭ, с 14:50 в аудитории 110.

Если у Вас нет пропуска на матфак (Усачева, 6), то, пожалуйста, напишите письмо на почту vomedvedev@hse.ru с указанием своего ФИО и спецкурса, который Вы желали бы посещать.
Для прохода на матфак нужно иметь с собой паспорт.

Описание

Определение массы в общей теории относительности (ОТО) не так очевидно как в специальной теории относительности. На самом деле на современном этапе развития науки не существует единого понятия массы в ОТО, а при некоторых условиях массу вообще нельзя определить. Первая часть курса посвящена основным определениям массы для некоторых важных случаях, таких как асимптотически плоские пространства-время и асимптотически гиперболические и др. Во второй части курса речь пойдёт о теоремах существования и единственности черных дыр и фотонных сфер. Эти теоремы единственности можно интерпретировать как теоремы об отсутствии волос, которые неформально говоря, утверждают, что черные дыры описываются единственным образом с помощью трёх параметров: масса, заряд и угловой момент вращения.

Программа:

  1. Основные сведения из римановой геометрии и элементы геометрического анализа.
  2. АДМ-масса и теорема о положительной массе.
  3. Неравенство Пенроуза.
  4. Другие виды масс и квазилокальные массы.
  5. Статические многообразия.
  6. Теоремы существования и единственности чёрных дыр и фотонных сфер
  7. Основная литература:
  8. D. Lee. Geometric Relativity.
  9. R. W. Wald. General Relativity

Порядок оценивания:

Домашний экзамен, состоящий из задач, не разобранных на семинаре. Оценивается по 10-бальной шкале.

Порядок оценивания

Оценка за курс вычисляется по формуле: 0,4К+0,6Э, где K — оценка за промежуточную контрольную (максимум 10), Э — оценка за экзамен (максимум 10). Округление доближайшего целого числа. Все контрольные мероприятия проводятся в формате «домашний экзамен».

Листки

На семинарах происходит разбор листков. Часть задач, которые останутся неразобранным, будут включены в домашние экзамены.

Листок 1      Листок 2      Листок 3      Листок 4

Листок 5      Листок 6      Листок 7      Листок 8

Промежуточная контрольная

Задание

Финальная контрольная

Задание

Программа курса

  1. Основные факты из римановой и псевдоримановой геометрии: кривизны римановых и псевдори-мановых многообразий, минимальные подмногообразия, начала спектральной геометрии.
  2. Уравнение Эйнштейна: наиболее популярные решения уравнения Эйнштейна, подход Шоке – Брюа,множества начальных данных, теоремы единственности.
  3. Масса в общей теории относительности: АДМ-масса, квазилокальные массы, теорема о положи-тельной массе, неравенство Пенроуза.
  4. Теорема Пенроуза о неполноте: черные дыры и ловушечные поверхности, минимальные поверх-ности как особый вид ловушечных поверхностей.

Предварительная подготовка

Дифференцируемые многообразия, формулы Грина и Стокса, векторные расслоения и связности в них, тензорные поля, пространство LP.

Учебники

  1. D. A. Lee. Geometric Relativity.
  2. B. O’Neill. Semi – Riemannian Geometry With Applications to Relativity.
  3. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия: Методы и приложения.