Андрей Дмитриевич Рябичев
Введение в группы кос
Спецкурс рекомендован для 3-го курса и старше
Лекции читаются очно по четвергам, в 17:30 в аудитории 303 и транслируются на YouTube и на RuTube.
Анонс курса – на YouTube и на RuTube
Плейлист курса – на YouTube и на RuTube
Вот чат слушателей курса, в нём будут обсуждаться орг.вопросы (например расписание) и, возможно, вопросы по материалу. Ещё можно писать мне в телеграм или на почту ryabichev@179.ru
Описание курса:
Группа кос на n нитях имеет простое топологическое описание (как наборы монотонных нитей в пространстве с точностью до изотопии), и в то же время легко определяются чисто алгебраически (как n − 1 образующая, на которые наложены соотношения Артина) — красивый пример взаимного проникновения двух областей математики, приводящий к их взаимному обогащению.
Курс начинается с элементарного введения, доказательства эквивалентности двух определений, решения проблемы равенства для кос и обсуждением связи с теорией узлов. Также подробно обсуждается связь с другой плодотворной областью маломерной топологии — группами классов отображений.
В заключительной части курса мы поговорим про псевдохарактеры на группах и конкретно про закрученность кос — и про то, как она позволяет связать топологические и комбинаторные свойства узла со свойствами косы, замыканием которой узел является. Обсуждения сложных результатов в этой части курса будет носить обзорный характер и основано на статье “Универсальность псевдохарактеров в теории узлов” (совместно с Ильёй Алексеевым, готовится к публикации).
Примерный план:
- Геометрические косы, изотопии, групповая структура. Образующие и соотношения Артина
- Крашеные косы. Центр. Приводимость и расщепимость, каблирование
- Проблема равенства, причёсанная нормальная форма. Жадная нормальная форма
- Конфигурационные пространства, группы кос на поверхностях. Действие на свободной группе. Точная последовательность Бирман
- Группы классов отображений, теорема Дена-Ликориша
- Железнодорожные пути. Классификация Нильсена-Тёрстона
- Теорема Александера (любой узел/зацепление является замыканием косы). Алгоритм Вожеля. Утверждение теоремы Тёрстона (узлы делятся на торические, сателлитные и гиперболические)
- Теорема Маркова (косы, представляющие изотопные зацепления, связаны сопряжением и стабилизацией/дестабилизацией)
- Упорядочиваемые группы. Порядок Деорнуа, алгебраическое определение и геометрический смысл
- Псевдохарактеры на группах. Гомеоморфизмы окружности: число вращения Пуанкаре и число переноса
- Плоскость Лобачевского (напоминание), универсальное накрытие диска с проколами. Представление группы кос гомеоморфизмами окружности (действие Нильсена-Тёрстона)
- Закрученность (коэффициент дробного скручивания Дена), ядерность (обнуление на расщепимых косах). Эквивалентность различных определений (через антье Деорнуа, через действие на окружности, аксиоматическое определение).
- Считывание свойств зацепления с косы при условии большой закрученности (обзор): оценки на род, срезанный род, число перекрёстков, неразводимость, трихотомия Тёрстона
- Многочлены Тома для мультиособенностей: классы самопересечений погружений
Литература
- Прасолов, Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия
- Кассель, Тураев. Группы кос
- Сосинский. Узлы, хронология одной математической теории
- Farb, Margalit. A primer on mapping class groups
- LaFountain, Menasco. Braid foliations in low-dimensional topology
- Малютин. Закрученность (замкнутых) кос 2004
- Dehornoy, Dynnikov, Rolfsen, Wiest. Ordering Braids
- Feller, Hubbard, Turner. The Dehn twist coefficient for big and small mapping class groups 2023