Программа курса

1. Алгебраические кривые. Вырождения. Дивизоры. Линейные системы. Вложения в проективное пространство. Дифференциалы. Теорема Гурвица. Теорема РиманаРоха.
2. Эллиптические кривые. Плоские модели. Уравнения. Групповой закон. Замена координат. Инвариантный дифференциал. Дискриминант. j – инвариант.
3. Изогении. Точки конечного порядка. Спаривание Вейля. Кольцо эндоморфизмов. Модуль Тейта. Действие группы Галуа.
4. Эллиптические кривые над C. Решетки. Функции Вейерштрасса. Эллиптические интегралы. Кривые, определённые над R. Комплексное умножение.
5. Эллиптические кривые над конечным полем. Автоморфизм Фробениуса. Теорема Хассе. Суперсингулярность.
6. Эллиптические кривые над Qp. Униформизация Тейта. Редукция по модулю p. Теорема Лутц – Нагеля. Модель Нерона.
7. Эллиптические кривые над Q. Высота точек. Теорема Морделла. Спаривание Нерона-Тейта. Группы Зельмера и Шафаревича-Тейта.
8. ζ - функция Хассе-Вейля и канонический L - ряд эллиптической кривой. Формулировка гипотезы Бёрча и Суиннертона - Дайера.
9. Многообразие модулей эллиптических кривых. Модулярная группа. Конгруэнцподгруппы. Параболические вершины.
10. Модулярные формы. Скалярное произведение Петерссона. Ряды Эйзенштейна. Формы веса 2 и дифференциалы.
11. Операторы Гекке и инволюции. Примитивные формы. Униформизация Вейля.
12. Действие алгебры Гекке на модулярных символах. Разложение гомологий модулярной кривой. Теорема Манина - Дринфельда.
13. Преобразование Меллина. L-функция модулярной формы. Функциональное уравнение.
14. Редукция модулярных кривых. Теорема Эйхлера-Шимуры.

Полезно, но не обязательно, чтобы слушатели обладали первоначальными сведениями по алгебраической геометрии и теории Галуа.

Программа файлом