Цели второго семестра:

1) Классификация модулей над кольцами главных идеалов. Следствия: жорданова и фробениусова нормальные формы линейных операторов, классификация конечно-порождённых абелевых групп.

2) Полилинейная алгебра: тензорные произведения, билинейные и квадратичные формы.

Программа курса

1. Введние в теорию групп (продолжение): расширения групп, теорема Жордана-Гёльдера. Примеры простых конечных групп. Группы симметрий. Действия групп на множествах, орбиты и стабилизаторы. Теоремы Силова. Разрешимые и нильпотентные группы.
2. Модули над кольцами. Фактор-модули, свободные модули, гомоморфизмы модулей, образующие и соотношения. Классификация модулей над кольцами главных идеалов. Примеры: классификация конечно-порождённых абелевых групп, классификация линейных операторов: жорданова и фробениусова нормальные формы.
3. Билинейные и квадратичные формы над разными полями, их классификация. Симметрические и кососимметрические билинейные формы.
4. Тензорные произведения векторных пространств. Симметрическая и внешняя степени. Канонические изоморфизмы.
5. Эрмитовы формы. Овеществление и комплексификация. Кватернионы.

Список литературы

[Ви] Винберг Э.Б. Курс алгебры. М., Из-во МЦНМО, 2019.
[Го1] Городенцев А.Л. Алгебра. Учебник для студентов-математиков. Часть 1. «МЦНМО», 2013.
[Го2] Городенцев А.Л. Алгебра-1. Конспекты лекций.
[I] I. Martin Isaacs Finite Group Theory. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 92
[RS] Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. Физматлит, 2009
[DF] D. Dummit, R. Foote Abstract algebra.

Программа файлом