Программа курса

1. Дискретное вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимые события. Формула полной вероятности и формула Байеса.
2. Примеры, показывающие трудность определения вероятностной меры на бесконечном пространстве исходов. Алгебры и сигма-алгебры событий. Борелевская сигма-алгебра. Произведение сигма-алгебр.
3. Счетно-аддитивная вероятностная мера. Теорема Лебега о продолжении. Компактные классы. Теорема Колмогорова о согласованном семействе.
4. Случайные величины и их свойства. Функция распределения. Существование случайной величины с заданным распределением. Универсальность равномерного распределения. Сигма-алгебра, порожденная случайной величиной. Теорема Дуба.
5. Независимые случайные величины. Законы нуля и единиц.
6. Математическое ожидание. Формула замены переменных. Дисперсия и ковариация.
7. Закон больших чисел в слабой форме. Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленом.
8. Абсолютно непрерывное распределение. Теорема Фубини. Распределение суммы независимых случайных величин. Свойства свертки.
9. Преобразование Фурье. Характеристическая функция. Гауссовское распределение.
10. Разные виды сходства последовательностей случайных величин. Лемма Бореля–Кантера.
11. Сходимость по распределению случайных величин. Закон повторного логарита.
12. Слабая сходимость и независимые меры. Центральная предельная теорема.