Спецкурс рекомендован для 3-го курса и старше.

Лекции доступны на YouTube и на RuTube.

Анонс курса – на YouTube и на RuTube

Плейлист курса – на YouTube и на RuTube

Когда в теории чисел возникают трудные для изучения мультипликативные функции, такие как функция Мёбиуса, характер Дирихле с большим кондуктором или коэффициенты геккесобственных модулярных форм большого уровня, то удобно бывает сначала изучить их вероятностные аналоги. Оказывается, в частности, что многие гипотезы о мультипликативных функциях выполняются для случайных мультипликативных функциях по достаточно простым причинам. Например, аналог гипотезы Римана получается из некоторой формы центральной предельной теоремы.  Теория случайных мультипликативных функций превратилась в последние десятилетия из метода получения эвристик в классической аналитической теории чисел в самостоятельную область. Цель данного семинара — познакомить слушателей с некоторыми аспектами этого направления, опираясь на классические результаты аналитической теории чисел.

Программа:

1. Мультипликативные функции, их ряды Дирихле, средние и максимальные порядки. Трюк Ранкина. Формула Перрона.
2. Средние значения мультипликативных функций: теорема Халаса. Характеры Дирихле и распределение простых чисел.
3. Случайные мультипликативные функции Штейнгауза и Радемахера. Случайная дзета-функция
4. Частичные суммы случайных мультипликативных функций: максимальный порядок.
5. Моменты частичных сумм, теоремы Харпера.
6. Положительность и перемены знаков. Мультипликативные пути Дика.
7. Приложения случайных функций к детерминированным задачам