Школу проводит Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ (МЛЗС). Научный руководитель школы — доктор медицинских наук, профессор Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ и Университет Лилля).
Зарегистрироваться на школу можно на сайте: ms.hse.ru/news/1139774706.html .
В этом году запланированы три лекционных курса и вечерние фестивальные лекции. Курсы будут сопровождаться ежедневными семинарами, на которых студенты смогут задавать вопросы, решать задачи и действительно разобраться в научном материале. Это важная особенность нашей школы.
Лекционные курсы
Александр Калмынин (МЛЗС НИУ ВШЭ, доцент факультета математики НИУ ВШЭ) — Методы решета и ограниченные промежутки между простыми числами
Идеи методов решета в теории чисел восходят к Эратосфену и его решету — способу нахождения всех простых чисел, не превосходящих данной величины. В современном виде методы решета впервые появились у Бруна и представляли собой очень креативное применение формулы включений-исключений. Так получается, например, доказать, что сходится ряд из обратных к числам-близнецам. В 2013 году развитие идей Сельберга привело к доказательству Жангом и Мейнардом бесконечности множества ограниченных промежутков между простыми числами. Мы обсудим основы методов решета и докажем теорему Мейнарда об ограниченных промежутках, а также поговорим о следствиях данных результатов в теории простых чисел.
Валерий Лунц (профессор Университета Индианы, МЛЗС НИУ ВШЭ) — Гомологическая алгебра
План курса:
Общая гомологическая алгебра (2–3 лекции): категории, полуточные функторы, сопряжённость; комплексы, когомологии, гомотопии; инъективные, проективные объекты, группы Ext; спектральные последовательности.
Остальная часть курса — конкретные примеры. Будет сделан упор на интерпретации групп когомологий: топология (сингулярные гомологии и когомологии, когомологии пучков); алгебра (когомологии групп, группа Брауэра, расширения групп); деформации модулей, алгебр, гладких проективных многообразий.
Федор Попеленский (доцент мех-мата МГУ, МЛЗС НИУ ВШЭ) — Характеристические классы
Планируется обсудить конструкции и свойства характеристических классов векторных расслоений. Основные примеры: классы Штифеля–Уитни, Чженя и Понтрягина, а также класс Эйлера. У них у всех несколько разные области применения. Мы разберём ряд важных примеров и приложений, а также решим набор полезных задач.
Вечерние фестивальные лекции
2 июля
д.ф.-м.н., член-корреспондент РАН Максим Королёв (МИАН) — О значениях дзета-функции Римана в целых точках
Аннотация. В далёком 1689 году базельский профессор математики Якоб Бернулли поставил следующую задачу: найти сумму бесконечного ряда из обратных квадратов. Её решение смог дать почти полвека спустя молодой Леонард Эйлер. Заодно он смог отыскать и точные значения сумм рядов из обратных четвёртых, шестых, восьмых и вообще любых чётных степеней. Говоря современным языком, Эйлер нашёл точные формулы для значений дзета-функции Римана в чётных точках. Формулы Эйлера удивительным образом увязывают эти значения со степенями числа "пи" и так называемыми числами Бернулли.
В виду известной теоремы Франсуа Линдемана о трансцендентности числа "пи", формулы Эйлера полностью решают вопрос об арифметической природе значений дзета-функции в чётных точках: все они являются трансцендентными числами. Есть ли аналоги формул Эйлера для значений дзета-функции в нечётных точках? Оказывается (в некотором смысле), что есть. Увы, они не проливают свет на арифметические свойства этих значений, но тем не менее обладают определённой красотой. В докладе мы поговорим об элементарном доказательстве таких формул, найденном совсем недавно — в 2002 году.
3 июля
д.ф.-м.н., профессор РАН Денис Осипов (МИАН и МЛЗС НИУ ВШЭ) — Законы взаимности в теории чисел и геометрии
Аннотация. Что общего между законом взаимности Гаусса про квадратичные вычеты и невычеты и утверждением, что сумма вычетов мероморфной дифференциальной 1-формы на сфере Римана (или более общо: на компактной римановой поверхности) есть ноль? Последнее утверждение также называют законом взаимности. Объединяет эти два закона взаимности теория полей классов. Это теория, которая описывает конечные расширение поля рациональных чисел или поля рациональных функций от одной переменной над конечным полем (или более общо: числового поля или поля рациональных функций на алгебраической кривой над конечным полем) с абелевой группой Галуа. Законы взаимности можно также обобщать: рассматривать самые общие, из которых следуют все остальные, или заменять алгебраические кривые на алгебраические поверхности или алгебраические многообразия еще более высокой размерности. Про этот круг вопрос я постараюсь рассказать в своей лекции.
4 июля
к.м.н. Антон Фонарев (МИАН) — Многообразие треугольников
Аннотация. На самом деле я расскажу на примере треугольников (это классический сюжет) о том, как устроены многообразия модулей и откуда берутся орбифолды/стеки.
5 июля
к.м.н. Артём Приходько (МЛЗС НИУ ВШЭ) — Про полиномы Каждана–Люстига
Аннотация. Полиномы Каждана–Люстига — некоторые целочисленные многочлены явно определяемые по алгебре Гекке группы Кокстера, возникающие в разных вопросах теории представлений. Я расскажу классический сюжет (гипотеза Каждана–Люстига) о том, как посчитать характер неприводимых представлений старшего веса полупростой алгебры Ли в терминах этих полиномов.
6 июля
к.м.н. Михаил Алфимов (НИУ ВШЭ, МЛЗС) — Поток Риччи в геометрии и физике
Аннотация. В данном лекции мы обсудим понятие перенормировок в квантовой теории поля на примере потока Риччи на геометрических объектах — многообразиях. Для специального типа таких теорий, называемых двумерными сигма-моделями, мы получим уравнение ренормгруппового потока в лидирующем порядке теории возмущений — знаменитое уравнение потока Риччи. Будет разобран пример решения такого уравнения для случая двумерных многообразий.