Листки

Листок 1

Программа курса

1. Основные понятия гомологической алгебры: цепные и коцепные комплексы, точные последовательности, проективные и инъектигвные модули, резольвенты, производные функторы. Примеры: гомологии и когомологии симплициальных комплексов, групп, когомологии де Рама многообразий, групп и алгебр Ли.
2. Хохшильдовы гомологии и когомологии алгебр: определение, основные свойства. Описание хохшильдовых гомологий и когомологий как производных функторов от бимодулей. Теорема Хохшильда-Костанта-Розенберга для гладких конечно-порождённых алгебр.
3. Чашка-умножение и скобки Герштенхабера на комплексе хохшильдовых коцепей от алгебры. Дифференциальные и локальные коцепи Хохшильда на гладком многообразии, когомологии комплекса дифференциальных хошильдовых коцепей ("дифференциальная теорема Хохшильда-Костанта-Розенберга") на гладких многообразиях.
4. Примеры и приложения: комплекс Хохшильда и задача деформационного квантования, квантование структуры Пуассона-Ли (Кириллова-Костанта-Сурио) на двойственном пространстве к алгебре Ли, теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта, квантование симплектических структур на многообразиях, теорема Нерославского-Власова.
5. Циклические гомологии ассоциативной алгебры: определение при помощи инвариантного подкомплекс и при помощи биокомплекса Конна, оператор периодичности Конна, точная последовательность Конна; циклические объекты и интерпретация циклических гомологий и когомологий как производных функторов от циклических объектов.
6. Варианты определений циклических гомологий и когомологий: периодические циклические гомологии, отрицательные циклические гомологии, некоммутативный комплекс де Рама и некоммутативные когомологии де Рама; связи между конструкциями. Примеры: циклические гомологии конечнопорождённых гладких алгебр, групповых алгебр, универсальных обёртывающих алгебр, алгебры Вейля.
7. Комплексные расслоения над топологическими пространствами, обзор основных конструкций: сумма Уитни, пространство сечений, теорема Серра-Суона про структуру проективных модулей над алгебрами функций, гладкие расслоения и связности. Характеристические классы расслоений; К-теория и характер Чженя, его основные свойства (обзор).
8. Проективные модули над алгеброй; некоммутативный характер Чженя: конструкции Конна, Каруби; свойства характера Чженя, примеры.
9. * Эллиптические операторы на расслоениях, их индексы и К-гомологии (обзор); теорема об индексе (обзор); гомологический характер Чженя и индекс оператора (теорема Конна).
10. Алгебраическая К-теория (обзор); характер Чженя в алгебраической К-теории (конструкция Каруби). Альтернативная конструкция регуляторов в алгебраической К-теории по Каруби (обзор).
11. * Альтернативный подход к построению периодических циклических когомологий: Х-комплекс Кунтца-Квиллена; описание четного и нечетного характера Чженя-Конна в терминах Х-комплексов.
12. * Теорема Фробениуса и слоения на многообразиях; характеристические классы слоений (конструкции Ботта и других) гипоеэллиптические операторы на слоениях. Индексы гипоэллиптических операторов на слоениях: формула Конна-Московичи.
13. * Алгебра Хопфа слоения и конструкция Конна-Московичи Хопф-циклических когомологий. Обобщение этих конструкций при помощи "анти модулей Йеттера-Дринфельда".
14. . Деформационное квантование симплектического многообразия: конструкция Федосова, алгебра Федосова; след на алгебре Федосова.
15. Циклические гомологии алгебры Федосова и алгебраическая теорема об индексе Федосова.
16. * Конструкции Неста-Цыгана-Бресслера и обобщения алгебраической теоремы об индексе.
     
    Звездочкой помечены темы, которые могут быть опущены в случае нехватки времени.