Описание курса

Описание курса: В этом курсе мы будем двигаться в сторону Hauptvermutung — известной гипотезы, что любое топологическое многообразие триангулируемо, а любой гомеоморфизм P L-многообразий изотопен кусочно-линейному. Эта гипотеза верна в размерности ≤ 3, но неверна в общем случае.

Первая часть курса посвящена общему обзору теории многообразий, а также методам работы с кусочно линейными многообразиями. Во второй части курса мы докажем Hauptvermutung в размерности 2 и сопутствующие утверждения о поверхностях. В заключительной части курса речь пойдёт про трёхмерную топологию, мы разберём несколько классических фактов о 3-многообразиях и обсудим теорему о триангулируемости.

Примерная программа курса

1. Топологические многообразия. Атласы, гладкие многообразия. Примеры многообразий
2. Подмногообразия. Примеры диких вложений (дикие узлы, ожерелье Антуана, рогатая сфера Александера)
3. Полиэдры в евклидовом пространстве, триангуляции, измельчения
4. Кусочно линейные отображения, локальный критерий невырожденности. P L-многообразия
5. Теорема о триангулируемости гладких многообразий
6. Некомбинаторные триангуляции. Гомологические сферы, теорема Эдвардса о двойной надстройке (без доказательства)
7. Теорема Жордана
8. Теорема о кусочно линейной аппроксимации гомеоморфизма поверхностей. Триангулируемость топологических 2-многообразий
9. Теорема Шёнфлиса
10. Трёхмерные многообразия. Линзы. Разбиение Хегора
11. Лемма Дена, теоремы Папакирьякопулоса о петле и о сфере
12. Кусочно линейная аппроксимация в трёхмерном пространстве. Теорема о триангулируемости трёхмерных многообразий
13. Инвариант Кирби-Зибенманна (обзор)

Литература

1. Moise. Geometric topology in dimensions 2 and 3
2. Манкрс. Элементарная дифференциальная топология (приложение к книжке Милнор, Сташеф. Характеристические классы)
3. Lurie. Topics in Geometric Topology, https://www.math.ias.edu/~lurie/937.html
4. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии
5. Скопенков. Алгебраическая топология с геометрической точки зрения