Александр Борисович Калмынин
Методы решета
Лекции читаются очно по понедельникам, в 19:20 в аудитории 304 и транслируются на YouTube и на RuTube.
Анонс курса – на YouTube и на RuTube
Плейлист курса – на YouTube и на RuTube
Листки
Многие утверждения о простых числах являются следствием такого общего принципа: для довольно широкого класса условий, множество простых чисел, удовлетворяющих таким условиям, либо бесконечно, либо конечно, но "по тривиальным причинам". Например, всякая бесконечно возрастающая целочисленная арифметическая прогрессия либо содержит бесконечно много простых чисел, либо все её члены делятся на одно и то же простое число.
К сожалению, подавляющее большинство утверждений такого толка по-прежнему не доказаны. Например, минимальные условия второй степени дают нам открытые проблемы о простых-близнецах и о простых числах вида n^2+1. В рамках данного курса мы обсудим разные ослабления таких утверждений, которые всё же удается доказать. Так, можно показать, что существует бесконечно много таких n, что n^2+1 имеет не более двух простых делителей с учетом кратности. Мы накопим целый арсенал различных методов, более или менее эффективных в разных контекстах, называемых методами решета. В качестве кульминации курса планируется обсудить новейшие результаты об ограниченных промежутках между простыми числами.
Программа курса
- Решето Эратосфена. Гипотезы Харди-Литтлвуда, Диксона и Шинцеля. Мультипликативные функции, формула обращения Мёбиуса.
- Комбинаторные решёта. Решето Бруна и его вариации. Константа Бруна. Простые числа в арифметических прогрессиях.
- Решето Сельберга. Гладкие и грубые числа. Приложение: числа Романова.
- Размерности решёт, линейное решето и решето половинной размерности. Дифференциальные уравнения со сдвигом и неравномерности в распределении простых чисел.
- Фурье-анализ в методах решета: большое решето. Теорема Линника о наименьшем квадратичном невычете. Египетские дроби.
- Ограниченные промежутки между простыми числами. Теорема Мейнарда, числа Полиньяка.