На главную страницу НМУ

В.В.Доценко (V.Dotsenko)

Алгебра, 4 семестр. Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию
(Algebra, 2nd year: intro to commutative algebra and algebraic geometry)

Листки (Exercise sheets)

Postscript

[Листок 1 (29K)|Листок 2 (34K)|Листок 3 (30K)|Листок 4 (25K)
Листок 5 (32K)|Листок 6 (25K)|Листок 7 (26K)|Листок 8 (21K)
Листок 9 (21K)|Листок 10 (23K)|Листок 11 (25K)]

Zipped postscript

[Листок 1 (12K)|Листок 2 (12K)|Листок 3 (12K)|Листок 4 (10K)
Листок 5 (13K)|Листок 6 (10K)|Листок 7 (10K)|Листок 8 (9K)
Листок 9 (9K)|Листок 10 (10K)|Листок 11 (10K)]

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Postscript (42K)|Zipped postscript (16K)]

Второй домашний экзамен (Second take-home exam)

[Postscript (68K)|Zipped postscript (28K)]

Программа курса

Темы, отмеченные звёздочкой, знать скорее почётно, чем обязательно.

Геометрия

Алгебра

  • Проективная плоскость, аффинные карты.
  • Рациональность неособой коники. Проективные преобразования прямой как соответствия, определяемые коникой. (*) Теорема Понселе.
  • Квадрики в проективных пространствах. Двойственная квадрика.
  • Плоские кубические кривые. Теорема Безу. Кубики, проходящие через точки пересечения двух данных кубик. Групповой закон на кубической кривой.
  • Гессиан. Точки перегиба кубической кривой. Нормальная форма Вейерштрасса.
  • Кривые высших степеней. Двойственная кривая, род кривой. Формула Римана-Гурвица. Род неособой кривой данной степени.
  • Особые точки плоских кривых. Ноды, каспы. (*) Формулы Плюккера.
  • Кривые в пространствах высших размерностей. Кривая Веронезе.
  • Геометрия многообразия Грассманна. Клетки Шуберта.
  • 27 прямых на кубической поверхности.
  • Подполя поля F(t). Теорема Люрота.
  • Нётеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе.
  • Алгебраическая зависимость. Степень трансцендентности. Целые расширения колец.
  • Радикальные идеалы. Лемма Нётер о нормализации и её геометрический смысл. Теорема Гильберта о нулях (два доказательства).
  • Аффинные и проективные алгебраические многообразия. Топология Зарисского. Регулярные функции и отображения.
  • Неприводимые многообразия. Рациональные функции. Бирациональный изоморфизм.
  • Тензорная алгебра. Отображения Сегре и Веронезе.
  • Квазипроективные многообразия. Регулярные и рациональные функции на них.
  • Локальные свойства. Локальность свойства "быть замкнутым подмножеством".
  • Отображения проективных многообразий. Теорема о замкнутости образа.
  • Размерность. Пересечение с гиперповерхностью. Теорема о размерности слоёв.

Литература


Rambler's Top100