На главную страницу НМУ

Н.Б.Гончарук

Числа вращения и модули эллиптических кривых

В 1978 году В. И. Арнольд предложил красивую конструкцию, которая связывает такие совершенно разные понятия, как число вращения диффеоморфизма окружности и модуль эллиптической кривой. С помощью этой конструкции можно построить новое фрактальное множество -- "пузыри Федорова". Пузыри Федорова являются комплексным аналогом другого известного фрактала -- языков Арнольда. В курсе мы опишем строение пузырей Федорова. Все результаты получены недавно, самые старые из них относятся к 1999 году, а самые свежие -- к 2011 году.

Конструкция Арнольда находится на стыке вещественной динамики на окружности и голоморфной динамики. Поэтому в доказательствах применяется довольно разнообразная техника, как "вещественная", так и "комплексная".
Этой технике будет посвящена значительная часть курса.

Краткий план курса

  1. Диффеоморфизмы окружности.
    Число вращения.
    Языки Арнольда.
    Связь отображений окружности с цепными дробями.
    Диофантовы и лиувиллевы числа вращения.
    Непрерывные сопряжения отображений окружности с поворотом: теорема Данжуа и пример Данжуа.
    Гладкие сопряжения с поворотом: теорема Эрманна-Йоккоза (эскиз доказательства).

  2. Эллиптические кривые.
    Функция Вейерштрасса, эллиптические функции.
    Модули эллиптических кривых.
    Неравенство Йоккоза.

  3. Квазиконформные отображения.
    Отображения с оптимальным квазиконформным отклонением: задача Грёча.
    Выпрямление квазиконформных структур: уравнение Бельтрами.
    Теорема Альфорса-Берса: существование решения уравнения Бельтрами, зависимость решения от параметров.

  4. Конструкция Арнольда: комплексное число вращения как модуль вспомогательной эллиптической кривой.
    "Комплексное число вращения" для комплексного возмущения диффеоморфизма окружности.
    Аналитическая зависимость комплексного числа вращения от возмущения.
    Связь обычного числа вращения и предельного поведения комплексного числа вращения при возмущениях, близких к нулю. Пузыри Федорова.
    Геометрия пузырей: открытые проблемы.

Rambler's Top100