Георгий Игоревич Шарыгин

Циклические гомологии и их применения

Решения задач из листков сдаются очно на семинарах после лекций. Сдавать можно задачи из любых листков. Для получения зачета нужно решить не менее половины всех задач.

Ссылки на листки будут публиковаться здесь.

изменения в расписании или даты сдачи зачета

Порядок оценивания

Листки

Лекции и задачи

Программа курса

  1. Основные понятия гомологической алгебры: цепные и коцепные комплексы, точные последовательности, проективные и инъектигвные модули, резольвенты, производные функторы. Примеры: гомологии и когомологии симплициальных комплексов, групп, когомологии де Рама многообразий, групп и алгебр Ли.
  2. Хохшильдовы гомологии и когомологии алгебр: определение, основные свойства. Описание хохшильдовых гомологий и когомологий как производных функторов от бимодулей. Теорема Хохшильда-Костанта-Розенберга для гладких конечно-порождённых алгебр.
  3. Чашка-умножение и скобки Герштенхабера на комплексе хохшильдовых коцепей от алгебры. Дифференциальные и локальные коцепи Хохшильда на гладком многообразии, когомологии комплекса дифференциальных хошильдовых коцепей ("дифференциальная теорема Хохшильда-Костанта-Розенберга") на гладких многообразиях.
  4. Примеры и приложения: комплекс Хохшильда и задача деформационного квантования, квантование структуры Пуассона-Ли (Кириллова-Костанта-Сурио) на двойственном пространстве к алгебре Ли, теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта, квантование симплектических структур на многообразиях, теорема Нерославского-Власова.
  5. Циклические гомологии ассоциативной алгебры: определение при помощи инвариантного подкомплекс и при помощи биокомплекса Конна, оператор периодичности Конна, точная последовательность Конна; циклические объекты и интерпретация циклических гомологий и когомологий как производных функторов от циклических объектов.
  6. Варианты определений циклических гомологий и когомологий: периодические циклические гомологии, отрицательные циклические гомологии, некоммутативный комплекс де Рама и некоммутативные когомологии де Рама; связи между конструкциями. Примеры: циклические гомологии конечнопорождённых гладких алгебр, групповых алгебр, универсальных обёртывающих алгебр, алгебры Вейля.
  7. Комплексные расслоения над топологическими пространствами, обзор основных конструкций: сумма Уитни, пространство сечений, теорема Серра-Суона про структуру проективных модулей над алгебрами функций, гладкие расслоения и связности. Характеристические классы расслоений; К-теория и характер Чженя, его основные свойства (обзор).
  8. Проективные модули над алгеброй; некоммутативный характер Чженя: конструкции Конна, Каруби; свойства характера Чженя, примеры.
  9. * Эллиптические операторы на расслоениях, их индексы и К-гомологии (обзор); теорема об индексе (обзор); гомологический характер Чженя и индекс оператора (теорема Конна).
  10. Алгебраическая К-теория (обзор); характер Чженя в алгебраической К-теории (конструкция Каруби). Альтернативная конструкция регуляторов в алгебраической К-теории по Каруби (обзор).
  11. * Альтернативный подход к построению периодических циклических когомологий: Х-комплекс Кунтца-Квиллена; описание четного и нечетного характера Чженя-Конна в терминах Х-комплексов.
  12. * Теорема Фробениуса и слоения на многообразиях; характеристические классы слоений (конструкции Ботта и других) гипоеэллиптические операторы на слоениях. Индексы гипоэллиптических операторов на слоениях: формула Конна-Московичи.
  13. * Алгебра Хопфа слоения и конструкция Конна-Московичи Хопф-циклических когомологий. Обобщение этих конструкций при помощи "анти модулей Йеттера-Дринфельда".
  14. . Деформационное квантование симплектического многообразия: конструкция Федосова, алгебра Федосова; след на алгебре Федосова.
  15. Циклические гомологии алгебры Федосова и алгебраическая теорема об индексе Федосова.
  16. * Конструкции Неста-Цыгана-Бресслера и обобщения алгебраической теоремы об индексе.
     
    Звездочкой помечены темы, которые могут быть опущены в случае нехватки времени.

Приблизительная программа курса

Предварительная подготовка

Учебники

Литература