Заочный конкурс по математике

Весенний тур 2009 года

Задачи 6-25 (основные)

6. Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шёл с постоянной скоростью. Один шёл из A в B, другой - из B в A. Они встретились в полдень и, не прекращая движения, пришли: один в B в 4 часа вечера, а другой - в A в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?

7. На какое минимальное число частей (не обязательно равных) нужно разрезать пиццу, чтобы её можно было разделить поровну и на троих, и на четверых (без дополнительных разрезов)?

8. Нарисуйте два несамопересекающихся пятиугольника так, чтобы у них были одни и те же вершины, но не было ни одной общей стороны.

9. На плоскости отмечено 2 миллиона точек. Докажите, что можно провести прямую так, чтобы она не проходила ни через одну из точек и чтобы по каждую сторону от прямой лежало по миллиону точек.

10. Среди чисел 1,2,3,...,2000 выберите как можно больше, при этом сумма любых двух выбранных чисел должна делиться на 30. Объясните, почему выбранный Вами вариант - наилучший (почему нельзя выбрать больше чисел, не нарушая указанного условия).

11. Можно ли придумать пример на деление целых положительных чисел с остатком, где делимое, частное, остаток и делитель оканчиваются на 1, 3, 5 и 7 соответственно?

12. Подряд написаны 10 чисел. Первое и последнее числа - нули. Каждое из остальных на единицу больше среднего арифметического (полусуммы) своего левого и правого соседей. Что это за числа?

13. Имеется забор из 57 досок и шесть красок различных цветов. Мы хотим покрасить каждую доску в один из цветов так, чтобы чтобы среди любых пяти идущих подряд досок не было одноцветных. Сколькими способами это можно сделать?

14. На доске написано двадцать чисел 1,2,3,4,...,19,20. Разрешается стирать любые два числа a и b, заменяя их на a+b-1, пока на доске не останется одно число. Какое число может остаться?

15. Тот же вопрос, если числа a и b заменяют на a+b+ab.

16. Несколько футбольных команд играют турнир в один круг (каждая встречается с каждой по одному разу). Докажите, что в любой момент турнира есть две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.

17. Петя считает автобусный билет счастливым, если между цифрами его номера можно расставить в некоторых местах скобки и знаки арифметических действий (+, -, x, /) так, чтобы значение полученного выражения было равно 100. Являются ли счастливыми билеты с номерами: а) 555555; б) 666666; в) 123456?

18. Разрежьте изображённую на рисунке доску на 4 одинаковые части, чтобы каждая из них содержала 3 заштрихованные клетки.

19. Чему может равняться a2+b2+c2, если a+b+c=5 и ab+bc+ac=8?

20. На доске написаны числа 1,2,3,...,30. Разрешается стереть любые два числа, записав вместо них их разность (по модулю). Докажите, что последнее оставшееся на доске число не будет нулём.

21. Какое из чисел больше: 12345678/12345679 или 1234578/1234579? Объясните свой ответ.

22. Нарисуйте какой-нибудь многоугольник и точку внутри него так, чтобы ни одна сторона многоугольника не была видна из этой точки полностью.

23. Найдите четырёхзначное число, которое при делении на 131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.

24. Куб покрасили со всех сторон и распилили на равные кубики. Оказалось, что кубиков, у которых покрашена ровно одна грань, столько же сколько не покрашенных кубиков. На сколько кубиков распилили куб?

25. Максимальная степень числа 2, на которую делится произведение всех натуральных чисел от 1 до n, равна 297. Чему может быть равно n? Укажите все варианты.

Весенний тур 2009 года (основная страница)

Главная страница