Заочный конкурс по математике

Осенний тур 2011 года

Задачи 6-25 (основные)

Решения (не только ответы!) нужно до 17 ноября выслать простым (не заказным) письмом по адресу:

Москва, 119002, Большой Власьевский пер., дом 11, Московский центр непрерывного математического образования, заочный конкурс, ... класс,

На письме должен быть указан обратный адрес, включая имя и фамилию. Стоимость письма зависит от его веса: 11,80 рублей (для писем до 20 г) плюс 1,25 рублей за каждые последующие полные или неполные 20 г.

В письмо следует вложить два пустых незаклеенных конверта с написанным на нём своим адресом и маркой. (В одном конверте будут посланы результаты проверки и приглашение на разбор задач и награждение; другой может быть использован для отправки Вам заданий следующего конкурса.) В это же письмо просим вложить заполненную карточку участника заочного конкурса. На каждом листе работы просим указывать фамилию, имя, номер школы и класс.

Пожалуйста, перед отправкой письма проверьте еще раз, правильно ли указана вся необходимая информация, перечтя внимательно наши инструкции - это облегчит нашу работу и уменьшит вероятность ошибок.

Справки по всем вопросам, связанным с конкурсом, можно получить по телефону (495) 945-82-16 (попросить соединить с организаторами заочного конкурса), или (это надёжнее) по электронной почте: zmk@mccme.ru (Очень просим Вас НЕ присылать решения по электронной почте.) Информация о заочном конкурсе имеется в Internet на сайте http://www.mccme.ru/zmk/; в начале декабря там будет информация о том, где и когда будет разбор и награждение, а после разбора и награждения помещён список победителей конкурса.

* * *

6. Шесть машин едут по дороге из города А в город Б. В данный момент они находятся в разных точках дороги, но известно, что суммарное расстояние, которое проехали (считая от А) все машины - 75 километров, а до Б осталось им ехать (тоже в сумме) 45 километров. Какова длина дороги из А в Б?

7. В Париже в течение долгого времени хранился эталон метра (пока метр не стали определять через длину световых волн, а потом через скорость света и единицы времени), однако эталона градуса там никогда не было. Как вы думаете, почему?

8. Разрежьте квадрат на рисунке на четыре равные (по форме и величине) части, проведя линию разреза по сторонам клеток; в каждую часть должно попасть по одной заштрихованной клетке.

9. Даны две (различные) точки A и B. Нарисуйте, где может находиться точка C, если известно, что треугольник ABC равнобедренный (имеет две равные стороны). (Будьте внимательны и не пропустите каких-либо вариантов расположения!)

10. Дан прямой угол. Из произвольной точки X внутри этого угла опускают перпендикуляры XP и XQ на стороны этого угла. Где находятся точки X, для которых расстояние между точками P и Q меньше 1?

11. Два угла квадрата со стороной a выступают за пределы полосы ширины a с параллельными краями. Стороны квадрата пересекают края полосы в четырёх точках. Докажите, что диагонали четырёхугольника, вершинами которого являются эти точки, пересекаются под углом в 45 градусов.

12. Замощение Пенроуза (названное в честь Роджера Пенроуза, предложившего его в 1970-е годы) покрывает плоскость ромбами двух типов, как показано на рисунке. Каковы углы этих ромбов?

13. Раскрасьте вершины клеток на клетчатой бумаге в пять цветов таким образом, чтобы узлы каждого цвета сами образовывали квадратную сетку, причём все пять сеток имели одинаковый размер клетки. (Непокрашенных вершин не должно быть.)

14. Дан треугольник ABC и точка O внутри него. Мы хотим найти отрезок с серединой в точке O, концы которого лежат на границе треугольника ABC. Какое максимальное количество решений может иметь эта задача?

15. Каждая из сторон четырёхугольника ABCD поделена на три равные части, и точки деления соединены отрезками (см. рисунок). Покажите, что каждый из этих отрезков делится другими также на три равные части.

16. Несколько окружностей имеют общую точку и касаются друг друга в этой точке. Докажите, что можно провести отрезок, который пересекает все эти окружности в разных точках, но под одним и тем же углом (см. рисунок).

17. Биссектрисы всех четырёх углов выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c и d (перечисленными в порядке обхода по часовой стрелке) пересекаются в одной точке. Докажите, что a+c=b+d.

18. Четырёхугольник вписан в квадрат (на каждой стороне квадрата лежит по вершине четырёхугольника). Оказалось, что четыре получившихся при этом треугольника имеют равные площади. Докажите, что эти треугольники равны.

19. Рассказывают, что на каком-то тесте по математике была дана задача: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а опущенная на неё высота равна 6. Чему равна площадь треугольника? Легенда гласит, что хорошие ученики получили за этот пункт теста мало очков, а плохие - много. Как вы думаете, почему такое могло случиться?

20. Найдите отношение сторон прямоугольника, разрезанного на квадраты, как показано на рисунке.

21. Могут ли три высоты треугольника иметь длины 1/2, 1/3 и 1/6?

22. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d (перечислены по часовой стрелке) не превосходит (ac+bd)/2, и равенство возможно только для четырёхугольников, вписанных в окружность.

23. Имеются квадратные плитки двух разных размеров - большие и маленькие. Замостите ими плоскость без пропусков и перекрытий, причём так, чтобы у каждой большой плитки было четыре маленьких соседа, а у каждой маленькой плитки - четыре больших.

24. Покажите, что плоскость (бесконечную во все стороны) можно замостить без пробелов и перекрытий квадратами, причём так, что среди квадратов не будет двух равных.

25. Шестиугольник с прямыми углами разрезан на два шестиугольника той же формы, но меньшего размера (с пропорционально уменьшенными сторонами). Найдите стороны исходного шестиугольника (приняв наибольшую из них за единицу).

Осенний тур 2011 года (основная страница)

Главная страница