Андрей Дмитриевич Рябичев
Введение в поверхности бесконечного типа
Листки
К каждой лекции выкладываются листки с задачами.
Сдавшим не менее чем по 4 задачи хотя бы из 9 листков зачёт по курсу будет ставиться без экзамена. Для сдающих экзамен количество задач на экзамене будет уменьшено пропорционально числу сданных задач из листков.
Решения задач можно присылать на почту ryabichev@179.ru. Ну или в телеграм. Если есть какие-нибудь вопросы, тоже не стесняйтесь писать. А вот чат курса, заходите!
Лекции и задачи
27 февраля, лекция 3. Функции Морса, ручки, разложение поверхности на штаны. Доказательство теоремы о классификации некомпактных поверхностей.
20 февраля, лекция 2 (видео). Проконечные пространства и их свойства. Планарные и непланарные концы поверхности. Теорема о классификации некомпактных поверхностей (формулировка). Задачи к лекции 2.
13 февраля, лекция 1 (видео). Замечания о гладкости. Примеры поверхностей. Концы топологических пространств, формулировка теоремы о классификации некомпактных поверхностей (начало). Задачи к лекции 1.
Программа курса
Все, кто начали изучать топологию, хорошо знают теорему о классификации компактных поверхностей. Но что если отбросить условие компактности? Некомпактная поверхность уже может иметь бесконечное число ручек и/или бесконечное число проколов.
Оказывается, этих данных далеко не достаточно для их полной классификации — некомпактные поверхности с точностью до гомеоморфизма описываются своим множеством концов. Помимо этой фундаментальной теоремы, мы разберём ряд других интересных свойств поверхностей бесконечного типа, в том числе сформулируем некоторые открытые проблемы.
Теория поверхностей бесконечного типа бурно развивается в последние пару десятков лет. Появляются интересные результаты — как обобщающие известные факты о компактных (римановых) поверхностях, так и имеющие совершенно иную природу. Сами же поверхности — простой, но достаточно богатый пример, чтобы продемонстрировать важные методы работы с многообразиями и различные приёмы геометрической теории групп.
Курс рассчитан на студентов 3–5 курсов.
Приблизительная программа курса
- Примеры многообразий бесконечного типа (бесконечные связные суммы, дополнения к диким подмногообразиям).
- Функции Морса, разложение многообразий на ручки, разложение поверхности на штаны.
- Обратные пределы, проконечные пространства. Вполне несвязные компакты со счётной базой. Пространство концов некомпактного многообразия. Концы графа.
- Концы поверхности, явная конструкция. Непланарные/неориентируемые концы.
- Построение поверхности с заданным множеством концов. Компактификация поверхности с планарными концами является многообразием.
- Теорема о классификации некомпактных поверхностей.
- Компактно-открытая топология на множестве непрерывных отображений. Примеры. Топологические группы.
- Действия топологических групп. Группа гомеоморфизмов, группа классов отображений.
- Комплекс кривых, его свойства. Действие группы классов отображений.
- Принцип Александера.
- Группы классов отображений компактных поверхностей / поверхностей конечного типа. Теорема Дена-Нильсена. Теорема Дена-Ликориша.
- Теорема о геометричности автоморфизмов комплекса кривых. Группа классов отображений поверхности бесконечного типа не локально компактна (и гомеоморфна R \ Q).
- Скручивания Дена, мультискручивания. Группа классов отображений с компактным носителем.
- Группа классов отображений поверхности с более чем одним непланарным концом не порождается топологически скручиваниями Дена.
- Гиперболические метрики. Квазиконформные отображения, модулярные группы.
Литература
- Aramayona, Vlamis. Big mapping class groups. An overview, 2020
- Farb, Margalit. A primer on mapping class groups.
- Hernandez, Morales, Valdez. The Alexander method for infinite type surfaces, 2017
- Patel, Vlamis. Algebraic and topological properties of big mapping class groups, 2017
- Richards. On the classification of noncompact surfaces, 1963
- Иванов, Комплексы кривых и модулярные группы Тайхмюллера, 1987