Константин Валерьевич Логинов
Введение в ограниченность многообразий Фано
изменения в расписании или даты сдачи зачета
Порядок оценивания
Листки
Лекции и задачи
Программа курса
Многообразия Фано это проективные многообразия, чей антиканонический класс обилен. Они играют важную роль в классификации всех проективных алгебраических многообразий и обладают богатой геометрией. Одним из их “положительных качеств” является то, что они поддаются классификации. Так, известна классификация гладких многообразий Фано в размерностях 1, 2 и 3. Например, в размерности 1 это просто проективная прямая P^1 . Также было доказано, что в любой фиксированной размерности имеется лишь конечное число семейств гладких многообразий Фано. С другой стороны, уже в размерности 2 имеется бесконечное число семейств особых многообразий Фано: достаточно рассмотреть взвешенные проективные плоскости P(a, b, c).
К. Биркар доказал результат об ограниченности многообразий Фано в любой фиксированной размерности при условии, что их особенности ограничены. За доказательство этой теоремы в 2018 году ему была присуждена медаль Филдса. Основная цель этого курса – понять формулировку и ключевые идеи доказательства этого результата. Мы постараемся сформулировать (но не доказать) основные теоремы программы минимальных моделей, которыми будем пользоваться. Для этого мы изучим различные конструкции и методы, применяемые в современной бирациональной геометрии.
Приблизительная программа курса
(i) Напоминание – геометрия на поверхности: бирациональные морфизмы, раздутие, форма пересечений, формула присоединения, (−1)-кривые, теорема Кастельнуово, программа минимальных моделей в размерности 2.
(ii) Поверхности дель Пеццо как многообразия Фано в размерности 2. Другие примеры поверхностей.
(iii) Теория особенностей. Особенности поверхностей, пары, особенности пар, различные категории особенностей: lc, klt, plt, dlt, терминальные, канонические. Примеры. Лог-канонические пороги и примеры их вычислений.
(iv) Теорема Кодаиры об обращении в нуль и ее обобщения. Nonklt локус, принцип связности Коллара-Шокурова, обращение присоединения.
(v) Программа минимальных моделей и ее вариации. Теорема о необращении в нуль, теорема о рациональности, теорема о стягивании.
(vi) Дополнения: определение и свойства. Исключительность, проблема существования дополнений.
(vii) Обобщенные пары, формула для канонического расслоения. Эффективная бирациональность, эффективное необращение в нуль, ограниченность дополнений.
(viii) Ограниченность исключительных пар Фано. Ограниченность многообразий Фано.
Предварительная подготовка
Предполагается, что слушатели курса знакомы с алгебраической геометрией в объеме глав 2 и 3 книжки Хартсхорна. Желательно, но не обязательно знание основ бирациональной геометрии и программы минимальных моделей, например, в объеме соответствующих курсов, читавшихся в МИАН и НМУ.
Учебники
Литература
(i) Ю.Г.Прохоров, особенности алгебраических многообразий,
(ii) K. Matsuki, Introduction to the Mori theory,
(iii) J. Koll´ar, S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties,
(iv) A. Corti, J. Koll´ar, K. Smith, Rational and nearly rational varieties,
(v) C. Birkar, Singularities of linear systems and boundedness of Fano varieties,
(vi) C. Birkar, Anti-pluricanonical systems on Fano varieties,
(vii) C. Birkar, P. Cascini, C. Hacon, J. McKernan, Existence of minimal models for varieties of log general type.