Илья Андреевич Смилга
Игра в пинг-понг с теннисным мячом: замощения аффинного пространства
И.А.Смилга планирует провести 4 занятия.
Доступны 3 видеозаписи курса.
Все вы, вероятно, много раз видели периодические замощения евклидова пространства — на обоях, паркетах, кирпичных стенах, пчелиных сотах (в двумерном случае) и в кристаллах (в трёхмерном случае). Каждое такое замощение обладает группой симметрий, элементы которой являются евклидовыми изометриями и переводят плитки замощения друг в друга; и изучение этих групп является ключевым этапом для изучения самих замощений. Эти группы на настоящий момент хорошо известны, и для малой размерности полностью классифицированы: существует 17 таких групп в двумерном случае («группы орнамента») и 219 групп в трёхмерном случае («кристаллографические группы»). Все они обладают общим свойством, известным как теорема Бибербаха: любая такая n-мерная группа содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную Z^n. В частности, это значит, что она «почти» абелева.
Рассмотрим теперь группы аффинных (не обязательно евклидовых) преобразований - то есть преобразований, сохраняющих прямые линии и параллельность, но необязательно расстояния и углы - которые действуют вполне разрывно (или, что почти то же самое, которые являются группой симметрий некоторого локально конечного замощения). В 1983 году Маргулис сделал открытие, которое поразило математическое сообщество: оказывается, существуют такие группы (в трёхмерном пространстве), которые являются свободными. Иными словами, двойственный граф соответствующего замощения является бесконечным деревом. (Правда, плитки замощения при этом имеют бесконечный объём. Для компактных плиток высказывается предположение, что такого быть не может - это так называемая гипотеза Ауслендера, которая уже более 50 лет как остаётся открытой.)
Главная цель этого курса - дать подробное геометрическое описание этих групп, а также их обобщений (открытых немного позже) на размерность 4k+3.
Пререквизиты: нужно знать основы линейной алгебры (как записать линейное преобразование с помощью матрицы; может быть, понадобятся билинейные формы). Также желательно (но, наверное, не строго обязательно) шапочное знакомство с теорией групп.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.