Владимир Юрьевич Протасов
Замощения пространства и сжатие информации
В. Ю. Протасов планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Фигуры, называемые тайлами, давно привлекают внимание специалистов в разных областях: комбинаторике, теории чисел, функциональном анализе, алгебре, и т.д. От тайла требуются два свойства: 1) самоподобие: тайл можно без наложений замостить параллельными сдвигами одной фигуры, подобной ему самому; 2) целые сдвиги тайла покрывают без наложений всё пространство. Тайл (tile — «плитка» или «черепица») может иметь самые причудливые формы и фрактальные свойства. Самый известный плоский тайл (помимо квадрата) — это Дракон (или «кривая дракона»), но есть и много других.
Относительно недавно тайлы нашли инженерные применения. Например, для обработки и передачи информации. Представим, что нужно сохранить на компьютере функцию одной или нескольких переменных. Например, звук или изображение. Хранить по точкам — дорого и неэффективно. Гораздо лучше разложить функцию в сумму нескольких базисных функций и хранить только коэффициенты разложения. В течение двух столетий мир довольствовался для этих целей системой Фурье, состоящей из синусов и косинусов. Но с развитием технологий проявились её неустранимые недостатки. Выход был найден в построении других базисных систем функций — всплесков, фреймов, и т.д. Математически это оказалось очень непростым делом. Некоторые из новых систем, например, многомерные системы Хаара, строятся с помощью тайлов. Оказывается, что эти замысловатые фигуры с рваными краями и дробной размерностью можно использовать для приближения гладких функций и, как следствие, для сжатия информации. Как это получается, и почему именно их надо использовать — мы разберемся. А кроме того, докажем ряд фундаментальных свойств тайлов и применим их к теории обработки сигналов и теории приближений. Мы рассмотрим трудную задачу классификации тайлов, построим примеры и сформулируем ряд открытых проблем.
Видео лекции:
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.