Антон Викторович Джамай
Дискретные интегрируемые системы и геометрия
А. В. Джамай планирует провести 4 занятия.
Доступны 5 видеозаписей курса.
Доступны задачи к курсу и слайды к последнему занятию
Теория динамических систем изучает, явно или качественно, движение некоторой начальной точки в пространстве всех возможных состояний, в зависимости от времени $t$. Время может быть как непрерывным, и тогда система описывается дифференциальными уравнениями, так и дискретным, и в этом случае траекторией системы будет некоторая последовательность точек в пространстве состояний. Дискретные системы обычно задаются выбором некоторого отображения пространства состояний в себя, а потом итерированием, или последовательным применением, этого отображения. В частности, многие известные рекуррентные соотношения, такие как последовательность Фибоначчи, могут быть интерпретированы как дискретные динамические системы.
Большинство нелинейных динамических систем хаотичны, нас же будут интересовать так называемые интегрируемые системы. У таких систем есть скрытая алгебраическая структура, которая позволяет понять поведение системы и часто вывести явные формулы для решений. Мы посмотрим в деталях на один пример такой системы — так называемое отображение QRT. Это отображение задается простой и очень красивой геометрической конструкцией, и ее изучение быстро приводит нас к важным и интересным объектам и конструкциям из алгебраической геометрии и современной алгебры.
Примерная программа курса:
- 1. Биквадратичные кривые на плоскости и инволюции на них.
- 2. Пучок биквадратичных кривых. Отображение QRT как пример дискретной интегрируемой системы. Базисные точки и особенности отображений. Раздутия и разрешения особенностей.
- 3. Рациональные эллиптические поверхности и инварианты отображения. Регулярные и сингулярные слои. Диаграммы Дынкина и классификация сингулярных слоев.
- 4. Решетка Пикара и действие отображения QRT на ней. Классификации отображений QRT и построение отображения по заданному сингулярному слою. Примеры приложений.
Пререквизиты: знать понятия рациональной функции, линейного отображения, векторного пространства, класса эквивалентности. Хотя курс рассчитан в основном на студентов, основные идеи будут доступны и школьникам.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.