Пусть m - натуральное число. Будем говорить, что действие группы G на множестве X является m$-транзитивным, если для любых двух наборов (x_1,...,x_m) и (y_1,...,y_m) попарно различных точек из X найдется элемент группы G, переводящий первый набор во второй. Действие называется бесконечно транзитивным, если оно m-транзитивно для любого натурального числа m. Мы обсудим, какие группы допускают бесконечно транзитивные действия, и приведем примеры таких действий. Ключевым примером для нас послужит действие группы полиномиальных автоморфизмов аффинной плоскости на самой плоскости. Мы подробно поговорим о результатах последних лет, обобщающих этот пример. Несмотря на угрожающие слова, обсуждаемый материал вполне элементарен и доступен старшеклассникам с хорошей математической подготовкой.