Антон Андреевич Айзенберг
Приложения конечных топологий
А. А. Айзенберг планирует провести 2–3 занятия.
Доступны 3 видеозаписи курса.
Доступны задачи к курсу: листок 1, листок 2, листок 3.
Необходимое правило курса наглядной топологии — не упоминать определение топологии. Потому что на интуитивном уровне совершенно непонятно, какое отношение системы открытых и замкнутых множеств имеют к разрезаниям ленты Мёбиуса, прогулкам по бутылке Клейна, выворачиванию сферы наизнанку и прочим прелестным фокусам. Для понимания большинства стандартных иллюстративных примеров требуется поверить, что топологические пространства — это подмножества в R^n, которые разрешается непрерывно деформировать. С этой точки зрения интересные топологические пространства обязаны быть бесконечными множествами. С бесконечными множествами невозможно работать алгоритмически, поэтому самая общая топология с приложениями не дружит. Этот курс будет не наглядным: в нем прозвучит определение топологии (хотя картинки тоже будут). Речь пойдет про конечные топологические пространства. С одной стороны, с такими пространствами можно работать на компьютере. С другой стороны, они могут иметь вполне содержательную топологию. Например, существует аналог окружности, состоящий из 4 точек, и аналог отрезка из 3 точек. Мы поговорим про понятие ядра конечной топологии и связанное с ним понятие сильного вдавливания, которое позволяет монотонно упрощать конечное пространство. Для привычных нам бесконечных пространств проверка гомотопической эквивалентности — задача трудная, и порой неразрешимая. Однако во вселенной конечных пространств верен прямо противоположный факт: два конечных пространства гомотопически эквивалентны в том и только том случае, когда они имеют одинаковые ядра. Различные вариации идеи сильного вдавливания в настоящее время становятся популярны в вычислительной топологии, об этом я тоже постараюсь рассказать.
План:
- 1. Топология. Симплициальные комплексы. Частично упорядоченные множества, диаграммы Хассе. Топология Александрова. Теоремы МакКорда для симплициальных и клеточных комплексов.
- 2. Гомеоморфизмы и гомотопические эквивалентности конечных пространств. Сильное вдавливание. Ядро топологии. Приложения. Если позволит время, я расскажу про анализ формальных понятий, и как на него можно смотреть топологически.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.