Илья Жарков
Графы, критическая группа и многочлен Татта
И. Жарков планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Мы начнем с классической банковской игры в рассыпание фишек (chip firing), также известной как песочные модели; им два года назад был посвящён курс Никиты Калинина.
В начальный момент на каждой вершине находится неотрицательное целое число фишек. На каждом ходу одна из вершин отдает по одной фишке каждому из своих соседей (а фишки, упавшие в некоторые выделенные вершины, пропадают насовсем), и этот процесс продолжается до тех пор, пока есть такие "богатые"; вершины, которые можно рассыпать. Когда рассыпать уже нечего, получившееся состояние называется стабильным. Можно переходить от одного стабильного состояния к другому, сначала добавляя фишки, а потом рассыпая их. Но в некоторые состояния (например, в пустое) так вернуться нельзя. Те состояния, в которые можно вернуться откуда угодно, называются критическими. Оказывается, существуют другие объекты на графах, находящиеся во взаимно-однозначном соответствии с критическими конфигурациями. Эти объекты, а также всевозможные биекции между ними, и будут основной темой наших занятий.
Примерный план занятий:
- 1. Банковские игры, критические конфигурации на графах, парковочные функции, остовные деревья, теорема Кэли для полных графов.
- 2. Многочлен Татта, различные его определения и свойства, а также смысл его некоторых специализаций и значений.
- 3. Алгоритм Дара и его обобщения, различные известные (и неизвестные) биекции между парковочными функции, деревьями и мономами в многочлене Татта.
- 4. Графы как тропические кривые, теоремы Абеля–Якоби и Римана–Роха, замощения зонотопа (Якобиана) и биекции клеток с элементами критической группы.
Весь материал несложный, глубоких предварительных знаний не требует, в основном, рассчитан на учащихся старших классов. Некоторое знакомство с линейной алгеброй и абелевыми группами может быть полезным.
Литература:
- N. L. Biggs, Chip-Firing and the Critical Group of a Graph, Journal of Algebraic Combinatorics, Volume 9 Issue 1, 1999, 25-45.
- A. Goodall and J. Nešetřil, Graph invariants homomorphisms and the Tutte polynomials, https://iuuk.mff.cuni.cz/~andrew/HomProfiles.pdf
- G. Mikhalkin and I. Zharkov, Tropical curves, their Jacobians and Theta functions, in Curves and Abelian Varieties, Contemporary Mathematics, Vol. 465, AMS 2008, 203-230.
- Н.Калинин, записки курса 2017 года
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.