Виктор Анатольевич Васильев
Дискриминанты и инварианты
В. А. Васильев планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Пусть имеется множество геометрических объектов, зависящих от параметров — например, пространство всех многочленов степени d вида
xd+A1xd-1+…+Ad-1x+Ad,
зависящих от своих коэффициентов A_i, или систем уравнений, или кривых в пространстве, или поверхностей; тогда дискриминантом называется множество объектов, качественно выделяющихся среди остальных.
Например, дискриминантом в пространстве многочленов будет множество многочленов, имеющих кратные корни; при d=2 это множество - кривая в плоскости параметров A_1, A_2 полинома x^2+A_1x+A_2, заданная привычным дискриминантным уравнением 4A_2=A_1^2.
Дискриминанты различных семейств объектов часто встречаются в математике и в жизни — например, их геометрию можно увидеть в очертаниях солнечных зайчиков (по-ученому называемых каустиками) и волновых фронтов. Кроме того, с их помощью удается эффективно различать неэквивалентные между собой неособые (то есть не лежащие на дискриминанте) объекты.
Задача различения обычно решается с помощью т.н. инвариантов - числовых характеристик, заведомо одинаковых у эквивалентных объектов. Например, если считать эквивалентными два многочлена без кратных корней, которые можно непрерывно продеформировать один в другой, не попадая на дискриминант, то простейшим инвариантом, полностью решающим задачу различения, является число корней.
В более сложных ситуациях (например, при классификации пространственных или плоских кривых общего положения, или функций от многих переменных) для различения двух объектов можно продеформировать один из них в другой во всем пространстве, может быть несколько раз пересекая дискриминант, и посчитать, сколько раз, в каком направлении и в каких точках дискриминанта происходило пересечение. Зная структуру дискриминанта, из такой информации можно извлечь инварианты и строго доказать различие объектов.
Я расскажу про геометрию дискриминантов, возникающих в разных задачах, про их связь с каустиками, про задачи классификации кривых, про их простейшие (и не только) инварианты и о том, как в этих задачах используется топология дискриминантных множеств.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.