Владимир Юрьевич Протасов
Теорема Минковского о многогранниках и задача Ньютона
В. Ю. Протасов планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Наш главный герой — теорема Минковского о существовании выпуклого многогранника, имеющего заданные площади и направления граней. Такой многогранник существует не всегда, а лишь когда векторы, перпендикулярные граням и по длине равные их площадям, в сумме дают ноль. В этом случае многогранник существует, причем (это очень важно!) единственный с точностью до параллельного переноса.
Удивительно, что столь наглядная теорема не имеет ни одного геометрического доказательства. Сначала мы немного поговорим о принципе Лагранжа для решения экстремальных задач, а для установления единственности нам понадобится доказать теорему Брунна-Минковского об объемах выпуклых тел (которая замечательна сама по себе).
Основные приложения теоремы Минковского - в кристаллографии и в геометрии многогранников. Но недавно появилось еще одно. Это задача Ньютона о поверхности наименьшего сопротивления. Данной задаче более 300 лет. Долгое, время она считалась решенной, но относительно недавно выяснилось, что найти самую обтекаемую поверхность среди всех поверхностей, а не только поверхностей вращения, Ньютону не удалось. Проблема до сих пор остается отрытой. Для работы с задачей Ньютона мы пройдем основы вариационного исчисления, а затем обсудим, сможет ли Минковский помочь Ньютону?
Примерная программа
- 1. Теорема Минковского о многогранниках. Замечательные следствия. Меры на сферах, порождающие выпуклые фигуры. Приложения к задаче Ньютона.
- 2. Как доказывать теоремы существования с помощью методов теории экстремума. Теорема Лагранжа: в чем ее сила (на примерах)? Единственность многогранника Минковского – как доказать? Выпуклые функции и выпуклая оптимизация. Теорема Брунна-Минковского - великая и ужасная.
- 3. Задача Ньютона о самой обтекаемой поверхности. Вариационное исчисление и уравнения Эйлера-Лагранжа. Ошибся ли Ньютон? Через 300 лет - все сначала.
- 4. Шероховатый - лучше чем гладкий! Поверхности нулевого сопротивления. Преобразование задачи Ньютона с помощью теоремы Минковского. Некоторые выводы.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.