Леонид Александрович Петров
Замощения ромбиками и их случайные перестройки
Л. А. Петров планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Замощение — это представление одной фигуры в виде объдинения фигур из данного (обычно конечного) набора, без пробелов и перекрытий. Задачи о замощениях плоскости и других фигур часто очень нетривиальны, и возникают во многих областях математики. Мы будем заниматься замощениями многоугольников, нарисованных на треугольной решетке, ромбами трех типов. Каждый ромб в нашем наборе — объединение двух правильных треугольников, соседних по стороне, например как на картинке ниже.
Первым делом мы подсчитаем, сколькими способами можно замостить некоторые многоугольники, в том числе, шестиугольник (кстати, для общего многоугольника формула неизвестна). Число замощений шестиугольника дается красивой формулой МакМагона, которой больше ста лет. (В Кембриджском Университете Перси МакМагон, по некоторым источникам, соревновался с Рамануджаном в подсчете числа разбиений - МакМагон приводил точные значения, а Рамануджан пользовался асимптотической формулой.)
Подсчет замощений естественно обобщить, вводя дополнительные параметры. Производящие функции замощений некоторых многоугольников - это замечательные симметрические многочлены Шура, встречающиеся почти во всех областях математики.
Замощений данного достаточно большого многоугольника очень много (порядка экспоненты от площади). В конце 20 века, с появлением компьютеров, математики смогли увидеть, как выглядит замощение, выбранное совершенно случайно из этого гигантского набора:
Эти примеры вызвали новый интерес к замощениям, уже с вероятностной стороны, что привело к новым красивым результатам. Как на практике получить картинку случайного замощения? Нельзя просто так выписать все возможные замощения и выбрать одно из них - на это не хватит памяти ни у одного компьютера. Оказывается, решение лежит в области "случайных перестроек" замощений - начинаем с одного, и случайно его меняем. Если это делать правильно, то после большого числа шагов получим искомую случайную картинку.
- 1. Замощения шестиугольника ромбиками трех типов. Различные описания замощений. Элементарный подсчет в частных случаях. Формула МакМагона и ее q-версия.
- 2. Уточненный подсчет замощений со многими параметрами. Рекуррентное соотношение. Многочлены Шура. Поведение больших случайных замощений.
- 3. Марковские цепи и обратимость.
- 4. Случайные перестройки замощений.
Для слушателей желательно знакомство с элементарной теорией вероятностей.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.