Олег Рустамович Мусин

Экстремальные конфигурации точек на сфере

О. Р. Мусин планирует провести 3-4 занятия.

Доступны 3 видеозаписи курса.

Одними из самых первых математических этюдов на сайте etudes.ru были «Контактное число шаров и сферические коды» и «Задача Томсона». В первом этюде разбирался вопрос Ньютона–Грегори (1694) о том, как много одинаковых бильярдных шаров можно расположить в пространстве вокруг центрального шара того же радиуса? Несмотря на простую формулировку, эта задача оказалась довольно трудной и строгое доказательство того, что шаров не может быть больше 12 появилось только спустя 260 лет после постановки задачи.

Обобщением этой задачи является задача Таммеса (1930): единичного шара в пространстве касается N одинаковых непересекающихся шаров; какой может быть их максимальный радиус? На сегодняшний день решение этой задачи известно для N<15 и N=24. Замечу, что случаи N=13 и N=14 сделаны недавно в наших совместных работах с А. С. Тарасовым при помощи компьютерного перебора контактных графов. На первом занятии для задач Ньютона–Грегори и Таммеса мы разберем методы их решения и обсудим новые подходы.

На втором занятии мы рассмотрим конфигурации точек на сфере, которые минимизируют заданную потенциальную энергию системы. В задаче Томсона (1904) необходимо найти такое расположение N одинаковых точечных зарядов на поверхности сферы, при котором их взаимное отталкивание минимально. Эта задача и родственные с ней задачи оказались очень трудными и, в частности, задача Томсона решена всего для нескольких N (N<7 и N=12). Отмечу, что для N=5 несмотря на большие усилия получено только «переборное» компьютерное решение. Недавно, в нашей совместной работе с П. Д. Драгневым, мы описали все Log-оптимальные конфигурации N=d+2 точек на сфере в d-мерном пространстве. Идея доказательства пришла из комбинаторной геометрии (теорема Радона), однако потребовались немалые усилия и «олимпиадные» трюки, чтобы эту идею реализовать.

На третьем занятии мы обсудим множества точек в пространстве или на сфере, расстояния между которыми принимают не более чем два значения. Мы разберем вопрос о том, как много точек может иметь такое множество, а также какие конфигурации образуют точки из экстремальных наборов. На плоскости такое множество может состоять из пяти точек — вершин правильного пятиугольника. В трёхмерном пространстве максимальная мощность (размер) таких множеств равна шести и оказывается, что имеется шесть различных (не изометричных) конфигураций. Недавно получен значительный прогресс по максимальной мощности сферических множеств с двумя расстояниями. Я также расскажу о теории Эйнхорна–Шёнберга и о классификации с помощью нее всех множеств с двумя расстояниями на плоскости и в пространстве.

Будет дано достаточно элементарное изложение постановок задач и доказательств.

Материалы к курсу:


Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

 

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

 

Константин Валерьевич Логинов
Алгебра-2
читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных
Топология-1
читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман
Математический анализ-2
читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

 

Второй курс

 

Тарас Евгеньевич Панов
Топология-3
читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
 
Алексей Викторович Пенской
Дифференциальная геометрия
читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
 
Алексей Игоревич Ильин
Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм
Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
 
Денис Николаевич Терешкин
Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов
Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин
Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов
Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев
Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат
Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
 
Тарас Евгеньевич Панов
Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.
Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин
Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев
Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 
 
Алексей Викторович Пенской
Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
 
Александр Борисович Калмынин
Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
 
Алексей Викторович Пенской
 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.
 
uchast@mccme.ru