Иван Вадимович Лосев
Представления SL_2
И. В. Лосев планирует провести 4 занятия.
Доступны 5 видеозаписей курса.
Отличие русской и американской школ теории представлений в том, что для русской основным примером является $SL_2$, а для американской — $E_8$ (фольклорная шутка).
В этом курсе мы познакомимся с представлениями группы $SL_2$ матриц размера 2 с определителем $1$ (т.е., матриц $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ с $ad-bc=1$) и ее
Представления группы $SL_2$ и алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ играют фундаментальную роль в теории представлений алгебраических групп, а также возникают в других областях математики. Случай комплексных коэффициентов классический, он был понят в начале прошлого века. Случай же поля $\overline{\mathbb{F}}_p$ значительно сложнее: для $SL_2$ и $\mathfrak{sl}_2$ все значимые вопросы имеют более или менее простые ответы, но для более сложных групп и алгебр Ли нет ответов даже на базовые вопросы, их изучение — одна из центральных и наиболее горячих тем в теории представлений последних лет.
Курс предназначен для второкурсников и продвинутых и преуспевших в изучении алгебры первокурсников.
Предварительная программа
- 1. Основные понятия теории представлений. Группа $SL_2$ и ее алгебраические представления. Алгебра Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, ее представления и их связь с представлениями группы $SL_2(\mathbb{C})$. Универсальная обертывающая алгебра $U(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C}))$.
- 2. Модули Верма и базис в $U(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C}))$. Классификация неприводимых представлений алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Элемент Казимира и полная приводимость представлений.
- 3. Представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$. $p$-Центр в универсальной обертывающей алгебре. Классификация неприводимых представлений.
- 4. От представлений $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ к представлениям $SL_2(\mathbb{C})$.
- 5. Представления алгебраической группы $SL_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ (насколько останется время).
На обсуждение более сложных групп времени на занятиях не останется, но это можно обсудить в более частном порядке.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.