Московский центр непрерывного математического образования
En
  • Главная
  • / ЛШСМ
  • / 2019
  • Программа Клепцын
    Архив по годам200120022003200420052006200720082009201020112012201320142015201620172018201920202021202220232024


  • Программа
  • Преподаватели
  • Материалы

Виктор Алексеевич Клепцын

Суммы и пересечения динамически определённых канторовых множеств

В. А. Клепцын планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Простейшее канторово множество K строится так: берём отрезок [0,1], выкидываем из него (открытую) среднюю треть, из каждого из двух получившихся отрезков по средней трети, и так далее. Получается множество очень "дырявое", но тем не менее равномощное [0,1].

А вот сумма такого множества с самим собой оказывается уже опять "толстой" - это отрезок [0,2] (докажите!). Поэтому пересечение K со сдвигами (a-K) непусто при всех a∈[0,2]; а это весьма удивительно: два дырявых множества пересекаются так, что малым шевелением "расцепить" их не получается.

А что будет, если взять чуть-чуть другие канторовы множества: как будет вести себя их сумма? Легко ли разрушить их пересечение?

Такие вопросы возникают в теории динамических систем, где канторовы множества возникают из множества "скатывающихся" или "набегающих" на инвариантное множество траекторий, а неразрушимость их пересечения нужна для некоторых важных примеров.

Возникают они и на границе теории операторов и математической физики. В довольно естественном классе задач с разделяющимся потенциалом, спектр оказывается суммой "одномерных" спектров - и зачастую это именно сумма канторовых множеств.

Можно вспомнить и теорию чисел, где такие вопросы оказываются связанными с описанием возможных приближений действительных чисел рациональными (более точно, со спектрами Лагранжа и Маркова).

Наконец, часть вопросов формулируется настолько просто и естественно, что интересна сама по себе.

Оказывается, эффекты при сложении канторовых множеств бывают разные — и далеко не все из естественных гипотез, описывающих поведение таких сумм, уже доказаны.

Предварительных знаний не требуется, курс предполагается доступным школьникам.

План курса

  1. 1. Динамически определённые канторовы множества на прямой. Их характеристики: хаусдорфова размерность и густота (тау-параметр).
  2. 2. Суммы и устойчивые пересечения в простейшем случае: лемма Ньюхауса.
  3. 3. Связь с теорией чисел: цепные дроби, F(4)+F(4) и спектры Лагранжа и Маркова.
  4. 4. Обзор известного и неизвестного: гипотезы и теоремы.
  5. 5. Применение в динамических системах: подкова Смейла и область Ньюхауса.
  6. 6. Метрическая и топологическая типичность, гипотеза Палиса и теорема Пьера Берже.

Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

 

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

 

Константин Валерьевич Логинов
Алгебра-2
читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных
Топология-1
читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман
Математический анализ-2
читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

 

Второй курс

 

Тарас Евгеньевич Панов
Топология-3
читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
 
Алексей Викторович Пенской
Дифференциальная геометрия
читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
 
Алексей Игоревич Ильин
Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм
Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
 
Денис Николаевич Терешкин
Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов
Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин
Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов
Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев
Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат
Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
 
Тарас Евгеньевич Панов
Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.
Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин
Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев
Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 
 
Алексей Викторович Пенской
Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
 
Александр Борисович Калмынин
Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
 
Алексей Викторович Пенской
 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.
 
uchast@mccme.ru
карта

МЦНМО

+7 (499) 241-05-00 adm@mccme.ru

НМУ

+7 (499) 241-40-86 +7 (499) 795-10-15 ium@mccme.ru

Книги

+7 (495) 745-80-31 biblio@mccme.ru
  • Адрес:
  • Москва, 119002, Большой Власьевский переулок, 11
  • Copyright ©1996–, МЦНМО