Александр Александрович Гайфуллин
Рохлинская двойка
А. А. Гайфуллин планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
23 августа этого года исполняется 100 лет со дня рождения выдающегося математика Владимира Абрамовича Рохлина. Одной из вершин его творчества является теорема, утверждающая, что сигнатура любого гладкого замкнутого ориентированного четырёхмерного многообразия с чётной формой пересечений делится на 16.
Все изучавшие линейную алгебру должны знать, что над полем вещественных чисел любая симметрическая билинейная форма линейной заменой координат приводится к виду
f(x,y)=x1y1+⋯+xpyp−xp+1yp+1−⋯−xp+qyp+q
Числа p и q называются положительным и отрицательным индексами инерции, а их разность - сигнатурой формы f. Таким образом, классификация вещественных симметрических билинейных форм очень проста. Однако, если рассматривать формы не над полем вещественных чисел, а над кольцом целых чисел, то получается гораздо более сложная и красивая теория, ещё очень далёкая от своего завершения. Симметрическая билинейная форма называется унимодулярной, если определитель её матрицы равен pm 1, и чётной, если на диагонали её матрицы стоят чётные числа. Бывают ли чётные унимодулярные формы? Да, например, f(x,y)=x1y2+x2y1 . А бывают ли чётные унимодулярные формы с ненулевой сигнатурой? Тоже да. Попробуйте построить такую форму, но не переживайте, если не получится: это сложная задача и простейший пример имеет размерность8. Более того, оказывается, что сигнатура любой чётной унимодулярной формы делится на 8. Этот красивый алгебраический факт будет доказан в первой половине курса.
Вторая половина курса будет посвящена упомянутому выше замечательному результату В. А. Рохлина. Каждому ориентированному гладкому замкнутому четырёхмерному многообразию можно естественным образом сопоставить унимодулярную симметрическую билинейную форму, называемую его формой пересечений. Теорема Рохлина утверждает, что если эта форма чётна, то её сигнатура делится не только на 8, но и на 16. Это отличие в 2 раза, открытое В.А.Рохлиным, сыграло огромную роль в развитии топологии во второй половине 20-го века и известно в настоящее время под жаргонным названием "рохлинская двойка". Я не уверен, что я успею рассказать полное доказательство теоремы Рохлина, но я постараюсь проиллюстрировать основные идеи, лежащие в основе её доказательства, и объяснить, почему эта теорема так важна.
Курс будет рассчитан на студентов. Для понимания первой (алгебраической) части курса достаточно хорошего знания основ линейной алгебры (матрицы, определители, билинейные формы). Для второй части курса необходимо также знание теоремы о неявной функции и хотя бы интуитивное понимание того, что такое гладкое многообразие. Знакомство слушателей с определением групп гомологий предполагаться не будет.
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.