Альберт Николаевич Ширяев
Случайные блуждания и броуновское движение
А. Н. Ширяев планирует провести 3 занятия.
Доступны 3 видеозаписи курса.
В 1827 году шотландский ботаник Роберт Браун наблюдал под микроскопом помещённую в воду крошечную крупинку цветочной пыльцы. Оказалось, что эта крупинка совершает крайне беспорядочные, зигзагообразные движения. Это движение не было связано с эффектами типа потока в жидкости, испарением, но сильно зависело от температуры.
Молекулярное объяснение этого движения было в 1905 году математически дано А. Эйнштейном, а в 1908 году экспериментально было показано, что это хаотическое движение есть результат соударений частицы с молекулами воды.
Математическая теория Эйнштейна использовала вероятностно-статистические соображения. Он изучил поведение частицы в фиксированный момент времени и зависящие от времени статистические свойства большой совокупности таких частиц. Им была построена математическая теория таких движений, которые в честь Р. Брауна стали называть броуновским движением.
В двадцатых-тридцатых годах прошлого века Н. Винер начал математическое изучение траекторий движения таких частиц. Им была построена теория этого движения в пространстве непрерывных функций, наделённых специальной мерой, которую теперь называют винеровской мерой.
Соударения частицы с молекулами происходит необычайно часто. Дискретный (и по времени, и по пространству) аналог этого движения (по каждой координате) может быть идеализированно представлен как случайное блуждание S_n=X_1+X_2+...+X_n, n 
1. Именно свойства этого блуждания являются целью лекций с последующим переходом к броуновскому движению (винеровскому процессу).
Применяя вероятностный подход мы вводим прежде всего основные характеристики: вероятностное пространство (Ω,F,P), случайные величины, математические ожидания и др.
Далее рассматриваются фундаментальные свойства случайных блужданий: закон больших чисел, теорема Муавра-Лапласа (центральная предельная теорема), усиленный закон больших чисел, закон повторного логарифма и др.
В основном случайные блуждания будут рассматриваться для схемы Бернулли, когда случайные величины X_i принимают два значения.
На примерах будет показано как вероятностная комбинаторика и свойства случайных блужданий приводят к результатам, слабо поддающихся интуиции.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.