Хайдар Джамилевич Нурлигареев
Периодические и апериодические замощения
Х. Д. Нурлигареев планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Замощение плоскости многоугольниками — это покрытие плоскости многоугольными плитками без пробелов и наложений. Зафиксировав какой-нибудь конечный набор плиток, который мы будем называть протомножеством, можно попытаться замостить плоскость копиями этих плиток. Ситуации, в которых это удаётся сделать, могут быть трёх различных типов:
- все замощения данным набором плиток периодические,
- существуют как периодические, так и непериодические замощения,
- все замощения данным набором плиток непериодические.
В последнем случае соответствующее протомножество, равно как и любое замощение, получающееся на его основе, называется апериодическим.
В первой части лекций я постараюсь продемонстрировать различные способы, которыми можно получать периодические и непериодические замощения, и вывести общие законы, которым эти замощения подчиняются. Вторая часть будет посвящена природе апериодических замощений, и чтобы глубже понять её, в какой-то момент мы перейдём от замощений плоскости к замощениям других объектов. Специальных предварительных знаний у слушателей не предполагается, и хотя знакомство с основами топологии упростит понимание второй части лекций, все необходимые понятия будут объяснены по ходу изложения.
Примерная программа курса:
- 1. Понятия плитки, протомножества, замощения. Лемма Кёнига и достаточное условие существования замощения с данным протомножеством (можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса). Задача Хееша.
- 2. Группа симметрий замощения, периодические и непериодические замощения. Фундаментальная область и формула Эйлера. Теорема том, что если группа симметрий замощения обладает параллельным переносом, то существует периодическое замощение с тем же протомножеством.
- 3. Самоподобные фигуры, процесс дефляции-инфляции, слабая и строгая иерархия, самоподобные замощения и их свойства. Метод "вырезать и спроецировать" (cut-and-project method).
- 4. Апериодические протомножества и апериодические замощения. Замощения Робинсона и Пенроуза. Гипотеза Конвея (Einstein problem), плитка Соколара-Тейлора и бипризма Конвея-Данцера-Шмидта.
- 5. Топология на замощениях. Теорема Долбилина (если данное протомножество допускает замощение, то либо существует периодическое замощение с этим протомножеством, либо оно апериодично и допускает континуум различных непериодических замощений).
- 6. Асимптотические вопросы, связанные с замощениями цилиндра и компактных поверхностей.
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.