Виктор Алексеевич Клепцын
Модели с подкреплением: урна Пойа и теорема о пяти вершинах
В. А. Клепцын планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Урна Пойа — процесс, устроенный следующим образом. В начале в урне находится какое-то количество красных и синих шаров — например, один красный и один синий шар. На каждом шаге мы вытаскиваем из урны случайный шар, возвращаем его обратно, и добавляем ещё один того же цвета. Что мы увидим через большое число шагов?
Этот процесс может быть (игрушечной) моделью в следующей ситуации: допустим, что за новую нишу на рынке борются две более-менее равноценные программы, и каждый новый пользователь спрашивает у случайно выбранного приятеля, чем тот пользуется.
Уже в этой задаче ответ интересен — и, решая её различными способами, мы увидим сразу несколько разных математических идей: естественным образом возникнут мартингалы и дифференциальные уравнения, экспоненциально распределённые случайные величины и пуассоновский процесс.
А что будет, если новый пользователь спрашивает совета у двух друзей — иными словами, если выбираются с возвращением два шара, и третий добавляется, только если их цвета совпадают? Оказывается (и мы это увидим), ответ кардинально меняется.
Мы обсудим и другие модели с подкреплением (те, где единожды сделанный выбор увеличивает шанс сделать такой же выбор и в будущем). В частности, мы узнаем, как будет вести себя случайное блуждающий пьяница на прямой, стремящийся переходить в уже знакомые точки — и частично докажем соответствующую теорему о пяти вершинах.
Программа-максимум
- 1. Урна Пойа; прямое вычисление, сходимость и описание предела.
- 2. Закон больших чисел и переход к дифференциальным уравнениям.
- 3. Экспоненциальные величины, пуассоновский процесс и конструкция Рубина.
- 4. Другие весовые функции: «богатые становятся ещё богаче» и монополия в пределе.
- 5. Случайное блуждание с подкреплением в вершинах (vertex-reinforced random walk) и теорема о пяти вершинах.
- 6. Модели на графах: несколько взаимодействующих урн Пойа.
От слушателей не предполагается знакомства с теорией вероятностей (кроме, разве что, интуитивного понимания) — одной из целей курса является неформальное знакомство с её понятиями. Правда, и совсем строгих и формальных доказательств в курсе тоже почти не будет — только правдоподобные описания, «как должны обстоять дела».
Материалы
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.