Московский центр непрерывного математического образования
En
  • Главная
  • / ЛШСМ
  • / 2018
  • Программа Гасников
    Архив по годам200120022003200420052006200720082009201020112012201320142015201620172018201920202021202220232024


  • Программа
  • Преподаватели
  • Материалы

Александр Владимирович Гасников

Концентрация равномерной меры на сфере и приложение к безградиентным методам выпуклой оптимизации

А. В. Гасников планирует провести 2 занятия.

Доступны 2 видеозаписи курса.

В некоторых многомерных задачах теории вероятностей важную роль играет эффект концентрации меры. А именно, с ростом размерности оказывается, что случайная величина "в подавляющем большинстве случаев" принимает примерно одно и то же значение. Об этом не раз рассказывалось на ЛШСМ. Популярно об этом написано в замечательной книге В.А. Зорича "Математический анализ задач естествознания". Но как правило, в вводных текстах и курсах про концентрацию меры разбираются довольно простые (игрушечные) примеры.

В данном мини-курсе мы представим (и даже схематично докажем) нетривиальный пример задачи на концентрацию равномерной меры на поверхности евклидовой сферы. А именно, мы зафиксируем вектор u и для случайного вектора v на сфере будем рассматривать величину  |v|p⟨u,v⟩— произведение p- нормы v и скалярного произведения u с v. Будет показано, что такая функция сконцентрирована около своего среднего значения (медианы)- это означает, что для большинства векторов, задающих точку на сфере, значение этой функции близко к среднему значению. Данное наблюдение позволяет практически бесплатно получать оценку на среднее значение этой функции на сфере.

В свою очередь, последняя величина играет важную роль в решении задачи, о которой ранее в ЛШСМ рассказывал В.Ю. Протасов "Как по значениям функции найти ее минимум?" С помощью полученной оценки среднего значения описанной выше функции будет показано, что для задач гладкой выпуклой оптимизации, у которых разреженное решение (много нулевых компонент в решении) можно получать оценки на число вычислений значения функции существенно лучшие, чем известные нижние оценки (А.С. Немировский, 1979). Противоречия тут нет, потому что было сделано дополнительное предположение о разреженной структуре решения (нижние оценки были получены без этого предположения).

Данный мини-курс про концентрацию меры и оптимизацию можно понимать, как идейное продолжение двух мини-курсов про оптимизацию и про концентрацию меры, прочитанных в прошлом году. Однако, слушать его можно независимо. От слушателей предполагается знакомство с основами дифференциального и интегрального исчисления и знание основ теории вероятностей. Впрочем, все конкретные необходимые факты планируется напоминать.


Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

 

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

 

Константин Валерьевич Логинов
Алгебра-2
читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных
Топология-1
читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман
Математический анализ-2
читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

 

Второй курс

 

Тарас Евгеньевич Панов
Топология-3
читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
 
Алексей Викторович Пенской
Дифференциальная геометрия
читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
 
Алексей Игоревич Ильин
Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм
Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
 
Денис Николаевич Терешкин
Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов
Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин
Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов
Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев
Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат
Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
 
Тарас Евгеньевич Панов
Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.
Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин
Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев
Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 
 
Алексей Викторович Пенской
Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
 
Александр Борисович Калмынин
Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
 
Алексей Викторович Пенской
 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.
 
uchast@mccme.ru
карта

МЦНМО

+7 (499) 241-05-00 adm@mccme.ru

НМУ

+7 (499) 241-40-86 +7 (499) 795-10-15 ium@mccme.ru

Книги

+7 (495) 745-80-31 biblio@mccme.ru
  • Адрес:
  • Москва, 119002, Большой Власьевский переулок, 11
  • Copyright ©1996–, МЦНМО