Иван Анатольевич Чельцов
Прямые на кубических поверхностях
И. А. Чельцов планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Глядя на Шуховскую башню в Москве, можно увидеть, что однополостный гиперболоид содержит бесконечно много прямых. Более того, прямые «живут» на нем в двух разных семействах. Эти же прямые легко увидеть на параболическом гиперболоиде. Если использовать комплексные числа, те же два семейства прямых можно найти и на сфере. Но мы не видим этих прямых, потому что на них нет вещественных точек, что для математиков не большая проблема. Однополостный гиперболоид, параболический гиперболоид и сфера - примеры поверхностей второго порядка, которые также принято называть квадриками, потому что они задаются уравнениями степени 2.
А что можно сказать про прямые на поверхностях больших степеней? Если степень больше трех, то, к сожалению, красивого результата нет, потому что общая такая поверхность просто не содержит прямых. Удивительно, но на кубической поверхности количество прямых всегда одно и тоже: 27. Это верно только для гладких поверхностей (как легко видеть на примере кубических конусов, на которых бесконечное число прямых). Причем для такого красивого результата нужно, как и в случае квадрик, рассматривать комплексные числа, иначе часть прямых может "исчезнуть". Более того, "гладкость"; нужно также рассматривать на бесконечности, ведь кубические цилиндры также содержат бесконечное число прямых (это конусы с вершиной на бесконечности). Все эти условия очень естественные и очень явные, если использовать язык проективной геометрии.
В данном курсе мы покажем, что работать с проективными пространствами и комплексными числами намного проще и намного лучше, чем с обычными пространствами и вещественными числами. Потом мы научим, как находить 27 прямых на неособой кубической поверхности, и попробуем на примерах понять, сколько прямых может быть на особых кубических поверхностях. Курс будет основан на примерах, задачах и их решениях.
Предварительный план по занятиям
- 1. Прямые и коники на проективной плоскости. Классификация кубических прямых. Теорема Безу в примерах.
- 2. Прямые и поверхности в трехмерном проективном пространстве. Прямые на квадриках. Прямые на неособых кубических поверхностях.
- 3. 27 прямых на неособой кубической поверхности.
- 4. Прямые на особых кубических поверхностях.
Материалы
- записки 1
- записки 2
- записки 3
- записки 4
- задачи
- решения задач
- см. также курс Ю.Г.Прохорова
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.