Денис Сергеевич Волк
Математика мозга: математические модели в нейронауке
Д. С. Волк планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Всякий раз, когда мы пытаемся количественно описать поведение объектов или систем объектов окружающего нас мира, возникает математическая модель.
Хорошая, годная модель отличается следующими свойствами:
- 1. она значительно проще, чем описываемая ей система;
- 2. однако, она отражает все важные нам аспекты поведения системы;
- 3. она имеет предсказательную силу: будущее, предсказываемое моделью, хорошо согласуется с результатами проверочных экспериментов.
Например, законы Ньютона позволяют построить модель падения яблока на землю. Яблоко заменяется на точку, которая движется с постоянным ускорением в направлении земли. Если нам важно уметь определять мгновенную скорость яблока и время падения, то это прекрасная модель, удовлетворяющая всем вышеперечисленным свойствам.
Работа человеческого мозга неизмеримо сложнее, чем падение яблока. Даже отдельная нервная клетка — нейрон — представляет собой весьма сложную биологическую систему. Однако, оказывается, что всю самую важную его функциональность можно свести к небольшому числу дифференциальных уравнений. Я покажу, как методы качественной теории дифференциальных уравнений (по-простому, теории картинок из стрелочек, нарисованных на плоскости или в пространстве) позволяют делать верные предсказания о поведении нейронов в ситуациях, ранее не наблюдавшихся экспериментально. Все необходимые сведения про картинки из стрелочек будут рассказаны в процессе курса.
Если останется время, я также планирую разобрать несколько моделей поведения популяций нейронов: возникновение колебательной активности как в смешанных сетях возбуждающих и тормозных нейронов, так и в сетях сплошь из тормозных, а также модель ассоциативной памяти.
Программа-максимум:
- Введение в биологическую часть: нейроны, аксоны, дендриты, каналы, насосы, синапсы, нейротрансмиттеры и нейромедиаторы.
- Взаимодействие нейронов: потенциалы действия и их последовательности, нейроны-интеграторы и нейроны-резонаторы.
- Формализм Ходжкина-Хаксли (очень кратко). Теория локальных бифуркаций 2-мерных векторных полей. Её предсказания для каждого из типов нейронов: амплитуды и частоты потенциалов действия, зависимость от шума.
- Эффекты нелокальных бифуркаций
- Смешанные модели на примере модели Ижикевича
- Переход от электрофизиологических моделей ХХ к моделям, основанным на частоте работы нейрона (firing rate models).
- Много нейронов: модели колебательной активности в мозге
- Много нейронов: сети Хопфилда — модель ассоциативной памяти, распознавание искажённых изображений
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Николаевич Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Андроник Арамович Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.